Question

1)Решить Дифференциальное уравнение: xydy-(x+1)√1-y^2dx=0. 2)найти решение задачи Коши для уравнения: y'=sin^2(y+x) y(0)=1. 3)найти решение задачи Коши для уравнения: y'=ytgx+x y(0)=1

Answer 1

Рассмотрите решение для двух ДУ.

Answer 2

1. Решение дифференциального уравнения: xydy - (x+1)√(1-y^2)dx = 0.

Для решения данного уравнения используем метод разделения переменных. Сначала перепишем уравнение в виде:

xydy = (x+1)√(1-y^2)dx.

Теперь разделим обе части уравнения и проинтегрируем:

∫(1/√(1-y^2))dy = ∫(x+1)/x dx.

Левая часть интеграла дает нам арксинус:

arcsin(y) = ∫(x+1)/x dx.

Теперь проинтегрируем правую часть:

arcsin(y) = ∫(1 + 1/x) dx = x + ln|x| + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

arcsin(y) = x + ln|x| + C.

2. Найти решение задачи Коши для уравнения: y' = sin^2(y+x), y(0) = 1.

Для решения данной задачи Коши используем метод разделения переменных и последующее интегрирование. Начнем с разделения переменных:

dy/sin^2(y+x) = dx.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1/sin^2(y+x))dy = ∫dx.

Для интегрирования левой части используем тригонометрическую замену: t = y + x, dt = dy.

∫(1/sin^2(t))dt = ∫dx.

Теперь найдем интеграл левой части:

∫(1/sin^2(t))dt = -cot(t) + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь подставим обратную замену t = y + x:

-cot(y+x) + C₁ = x + C₂, где C₂ - другая произвольная постоянная.

Теперь найдем C₂, используя начальное условие y(0) = 1:

-cot(0+1) + C₁ = 0 + C₂, -Cot(1) + C₁ = C₂.

Таким образом, решение задачи Коши:

y = cot(y+x) - cot(1).

3. Найти решение задачи Коши для уравнения: y' = y*tan(x) + x, y(0) = 1.

Для решения данной задачи Коши воспользуемся методом разделения переменных и последующим интегрированием. Начнем с разделения переменных:

dy/(y*tan(x) + x) = dx.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1/(y*tan(x) + x))dy = ∫dx.

Для интегрирования левой части используем подстановку u = ytan(x) + x, du = (ytan(x) + 1)dx:

∫(1/u)dy = ∫dx.

ln|u| + C₁ = x + C₂, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь выразим u обратно через y и x:

ln|y*tan(x) + x| + C₁ = x + C₂.

Теперь применим начальное условие y(0) = 1:

ln|1*tan(0) + 0| + C₁ = 0 + C₂, ln|0| + C₁ = C₂, C₁ = C₂.

Таким образом, окончательное решение задачи Коши:

ln|y*tan(x) + x| = x + C, где C - произвольная постоянная.