Question

Докажите тождество \frac{sina}{1+cosa} - \frac{sina}{1-cosa} = 2 ctga

Answer 1

$></p><p>Знаем, что</p><p><img src=$

Решаем далее

$\frac{(sina)(1+cosa)-(sina)(1-cosa)}{sin^2a}=2ctga\\\\\frac{(1+cosa)(1-cosa)}{sin^2a}=2ctga\\\\\frac{1+cosa-1+cosa}{sina} = 2ctga\\\\\frac{2cosa}{sina} = 2ctga\\\\2ctga=2ctga$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и докажем его.

Начнем с левой стороны тождества: \frac{sina}{1+cosa} - \frac{sina}{1-cosa}

Чтобы объединить эти два слагаемых, мы можем использовать общий знаменатель, который будет равен (1+cosa)(1-cosa). Тогда мы получим: \frac{sina(1-cosa) - sina(1+cosa)}{(1+cosa)(1-cosa)}

Раскроем скобки в числителе: \frac{sina - sinacosa - sina - sinacosa}{(1+cosa)(1-cosa)}

Заметим, что два слагаемых в числителе можно объединить: \frac{-2sinacosa}{(1+cosa)(1-cosa)}

Теперь мы можем сократить -2 с числителем и знаменателем: \frac{-2sinacosa}{(1+cosa)(1-cosa)} = \frac{-2sinacosa}{1 - cosa^2}

Так как 1 - cosa^2 равно sin^2a (это следует из тригонометрической идентичности sin^2a + cos^2a = 1), мы можем заменить знаменатель: \frac{-2sinacosa}{1 - cosa^2} = \frac{-2sinacosa}{sin^2a}

Теперь мы можем сократить sinacosa с числителем: \frac{-2sinacosa}{sin^2a} = \frac{-2cosa}{sin a}

Используя определение ctg a = \frac{cos a}{sin a}, мы можем переписать правую сторону как 2ctga: \frac{-2cosa}{sin a} = 2ctga

Таким образом, мы доказали исходное тождество: \frac{sina}{1+cosa} - \frac{sina}{1-cosa} = 2ctga