Question

Решите неравенство: 1) х^2-3х-4>=0 2)2х^2+7х-4<0​

Answer 1

Ответ:

1) x²-3x-4>=0

x1+x2>=3 x1>=4

x1x2>=-4 x2>=-1

2)2x²+7x-4<0

D=49+32=81

x1<(-7+9)/4=0.5

x2<(-7-9)/4=-4

Answer 2

Конечно, рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1) \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\).

Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства:

\(x^2 - 3x - 4 = 0\).

Для нахождения корней можно воспользоваться формулой квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

В данном случае, \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -4\). Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\),

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\).

Итак, корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) равны \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 4\).

Теперь нам нужно определить интервалы, на которых неравенство \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\) выполняется. Нам известно, что уравнение имеет корни -1 и 4. Посмотрим, как меняется знак выражения \(x^2 - 3x - 4\) на интервалах между корнями и за пределами этих корней:

- Если \(x < -1\), выражение \(x^2 - 3x - 4\) положительно, так как оба множителя \((x + 1)\) и \((x - 4)\) отрицательны. - Если \(-1 < x < 4\), выражение \(x^2 - 3x - 4\) отрицательно, так как оба множителя \((x + 1)\) и \((x - 4)\) положительны. - Если \(x > 4\), выражение \(x^2 - 3x - 4\) снова положительно, так как оба множителя \((x + 1)\) и \((x - 4)\) положительны.

Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\) выполняется на интервалах \([- \infty, -1] \cup [4, +\infty)\).

2) \(2x^2 + 7x - 4 < 0\).

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства:

\(2x^2 + 7x - 4 = 0\).

В данном случае, \(a = 2\), \(b = 7\), и \(c = -4\). Подставляя эти значения в формулу квадратного уравнения, получаем:

\(x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}\),

\(x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}\).

Корни уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\) равны \(x_1 = -4\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Теперь определим интервалы, на которых неравенство \(2x^2 + 7x - 4 < 0\) выполняется. Посмотрим, как меняется знак выражения \(2x^2 + 7x - 4\) на интервалах между корнями и за пределами этих корней:

- Если \(x < -4\), выражение \(2x^2 + 7x - 4\) положительно, так как оба множителя положительны. - Если \(-4 < x < \frac{1}{2}\), выражение \(2x^2 + 7x - 4\) отрицательно, так как множитель \((x + 4)\) отрицательный, а множитель \((2x - 1)\) положительный. - Если \(x > \frac{1}{2}\), выражение \(2x^2 + 7x - 4\) снова положительно, так как оба множителя положительны.

Таким образом, неравенство \(2x^2 + 7x - 4 < 0\) выполняется на интервале \(-4 < x < \frac{1}{2}\).