Question

Найдите промежутки монотонности функции: 1)f(x)=2x/x+1;2)f(x)=x²/x-2​

Answer 1

_________________________

Решение во вложениях

_________________________

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки монотонности функций, необходимо проанализировать производные функций. Промежутки монотонности определяются знаками производных функций.

Функция 1: f(x) = 2x / (x + 1)

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования для частного:

f'(x) = (2 * (x + 1) - 2x) / (x + 1)² = (2x + 2 - 2x) / (x + 1)² = 2 / (x + 1)²

Теперь проанализируем знаки производной f'(x) для определения промежутков монотонности:

1. Когда f'(x) > 0: 2 / (x + 1)² > 0 Знак делителя (x + 1)² не меняется, поэтому нам интересны только знак числителя 2. Числитель 2 всегда положителен, поэтому f'(x) > 0 для всех значений x, кроме x = -1.

2. Когда f'(x) < 0: 2 / (x + 1)² < 0 Знак делителя (x + 1)² не меняется, поэтому нам интересны только знак числителя 2. Числитель 2 всегда положителен, поэтому f'(x) < 0 не имеет решений.

Итак, промежуток монотонности функции f(x) = 2x / (x + 1) следующий:

f(x) возрастает на (-∞, -1) и (-1, +∞)

Функция 2: f(x) = x² / (x - 2)

Аналогично рассмотрим функцию f(x) = x² / (x - 2):

f'(x) = ((x - 2) * 2x - x²) / (x - 2)² = (2x² - 4x - x²) / (x - 2)² = (x² - 4x) / (x - 2)² = x(x - 4) / (x - 2)²

Теперь проанализируем знаки производной f'(x) для определения промежутков монотонности:

1. Когда f'(x) > 0: x(x - 4) / (x - 2)² > 0 Знак делителя (x - 2)² не меняется, поэтому нам интересны только знаки числителя x(x - 4). Здесь возможны два случая: - x > 4: оба множителя x и (x - 4) положительны, поэтому f'(x) > 0. - 0 < x < 2: оба множителя x и (x - 4) отрицательны, поэтому f'(x) > 0.

2. Когда f'(x) < 0: x(x - 4) / (x - 2)² < 0 Знак делителя (x - 2)² не меняется, поэтому нам интересны только знаки числителя x(x - 4). Здесь возможны два случая: - x < 0: оба множителя x и (x - 4) отрицательны, поэтому f'(x) < 0. - 2 < x < 4: x положителен, а (x - 4) отрицателен, поэтому f'(x) < 0.

Итак, промежуток монотонности функции f(x) = x² / (x - 2) следующий:

f(x) возрастает на (0, 2) и (4, +∞), и убывает на (-∞, 0) и (2, 4)