Question

Решите неравенство 4^x-2^x>2

Answer 1

Ответ:

$4^{x}-2^{x}>2\\\\(2^{x})^2-2^{x}-2>0\\\\t=2^{x}>0:\ \ \ t^2-t-2>0\ \ ,\ \ t_1=-1\ ,\ t_2=2\ ,\\\\(t+1)(t-2)>0\\\\znaki:\ \ +++(-1)---(2)+++\\\\t\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\\\\t>0\ \ \ \to \ \ \ t\in (2;+\infty )\ \ \ \to \ \ \ t>2\ \ \ ,\ \ \ 2^{x}>2^1\ \ \to \ \ \ x>1\\\\\boxed {\ x\in (1;+\infty )\ }$

Answer 2

Для решения данного неравенства, выразим его в виде одной степенной функции. Поскольку 4 и 2 являются степенями двойки, представим их в виде: 4 = 2^2 и 2 = 2^1.

Теперь заменим 4 и 2 в неравенстве: (2^2)^x - (2^1)^x > 2.

Поскольку основания степени одинаковые (2), мы можем применить формулу a^m - a^n = a^n * (a^(m-n) - 1). Таким образом, преобразуем неравенство:

2^(2x) - 2^x > 2.

Теперь объединим множители с основанием 2 и получим: 2^x * (2^x - 1) > 2.

Факторизуем правую сторону неравенства: 2 = 2^1. Получим: 2^x * (2^x - 1) > 2^1.

Упростим левую сторону: 2^x * (2^x - 1) > 2.

Так как все части неравенства являются положительными, можно поделить обе части неравенства на 2. Получим: 2^x - 1 > 1.

Добавим 1 к обеим сторонам: 2^x > 2.

Возведем обе стороны в степень два: (2^x)^2 > 2^2.

Теперь у нас есть квадратное неравенство: 2^(2x) > 4.

Обратим внимание, что 4 = 2^2. Заменим 4 в неравенстве и упростим:

2^(2x) > (2^2)^1.

2^(2x) > 2^(2*1).

Убрав степень, мы получаем:

2^(2x) > 2^2.

Поскольку основание степени одинаковое, можно применить свойство равенства, где степень равна:

2x > 2.

Разделим обе стороны неравенства на 2 и получим: x > 1.

Таким образом, решением исходного неравенства является любое число, больше 1.