Question

Найдите наибольшее значение функции y = x^3+2x^2+x+ 3 на отрезке [-3; -0,5].

Answer 1

y = x³ + 2x² + x + 3       [ - 3 ; - 0,5]

Найдём производную :

y' = (x³)' + 2(x²)' + (x)' + 3' = 3x² + 4x + 1

Приравняем производную к нулю :

3x² + 4x + 1 = 0

D = 4² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4 = 2²

$x_{1}=\frac{-4+2}{6}=-\frac{1}{3}\\\\x_{2}=\frac{-4-2}{6}=-1$

x= - 1/3 ∉ [- 3 ; - 0,5]

Сделаем рисунок и определим знаки производной на полученных промежутках :

                   +                               -

   [ - 3]___________[- 1]____________[- 0,5]

                   ↑                               ↓

                                   max

На промежутке [- 3 ; - 1] функция возрастает, а на промежутке [- 1; - 0,5]- убывает . Значит в точке x = - 1 функция имеет максимум.

y (- 1) = (- 1)³ + 2 * (- 1)² - 1 + 3 = - 1 + 2 - 1 + 3 = 3

Ответ : наибольшее значение функции равно 3

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3 на отрезке [-3;-0.5], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: y = x^3 + 2x^2 + x + 3 y' = 3x^2 + 4x + 1 Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 3x^2 + 4x + 1 = 0 Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = 4 и c = 1. Применим формулу дискриминанта для нахождения корней: D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 4 * 3 * 1 D = 16 - 12 D = 4 Так как дискриминант D положительный, у нас есть два различных действительных корня: x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (-4 + √4) / (2 * 3) x1 = (-4 + 2) / 6 x1 = -2 / 6 x1 = -1/3 x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (-4 - √4) / (2 * 3) x2 = (-4 - 2) / 6 x2 = -6 / 6 x2 = -1 Теперь мы найдем значения функции y на концах отрезка [-3;-0.5] и в найденных критических точках: y(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 + (-3) + 3 y(-3) = -27 + 18 - 3 + 3 y(-3) = -9 y(-0.5) = (-0.5)^3 + 2(-0.5)^2 + (-0.5) + 3 y(-0.5) = -0.125 + 0.5 - 0.5 + 3 y(-0.5) = 3.875 y(-1/3) = (-1/3)^3 + 2(-1/3)^2 + (-1/3) + 3 y(-1/3) = -1/27 + 2/9 - 1/3 + 3 y(-1/3) = -1/27 + 6/27 - 9/27 + 81/27 y(-1/3) = 77/27 Таким образом, наибольшее значение функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3 на отрезке [-3;-0.5] равно 3.875 и достигается при x = -0.5.