Question

Найдите все простые числа p, q такие, что число p ^ 2 + q ^ 4 + 4 также является простым.

Answer 1

Ответ:

(p,q)=(2,3);(3,2)

Объяснение:

Если ни p и не q не равняются 2, то p²-нечётное число q⁴-нечётное число

p²+q⁴-четное число, как и p²+q⁴+4, а чётное число не может быть простым, если оно не равно двум(выражение в данном случае больше двух при любых натуральных p и q), аналогично с парой (2;2)

В таком случае возможно два расклада:

1)p=2, q≠2:

4+4+q⁴=8+q⁴=простое число

2) q=2, p≠2:

20+p²=простое число

1 случай:

Заметим одну особенность:

8 при делении на 3 даёт остаток 2, q⁴ не может давать остаток 2(например q дало остаток 2, тогда q⁴ будет сравнимо с 16 по модулю 3, оно, в свою очередь, сравнимо с 1) тогда оно либо даёт остаток 0, то есть делитья на 3 или же остаток 1, но тогда выражение 8+q⁴ делится на 3, это уже говорит о том, что оно не является простым. Единственным подходящим числом будет q=3. Проверка: 8+3⁴=89 - простое число.

2 случай:

Здесь аналогично: p² так же не может давать остаток два, а 20 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому единственное подходящее число q=3. Проверка: 20+9=29 - простое число.

Answer 2

Чтобы найти все простые числа p и q, такие, что число p^2 + q^4 + 4 также является простым, мы можем использовать перебор. Сначала определим, какие значения p и q следует рассмотреть. Мы знаем, что p и q должны быть простыми числами, поэтому начнем перебор с наименьших простых чисел. Начнем с p = 2. Подставим это значение в выражение: 2^2 + q^4 + 4 = 4 + q^4 + 4 = q^4 + 8. Мы видим, что это выражение не всегда будет простым, например, при q = 2 получим 2^4 + 8 = 24, что не является простым числом. Теперь рассмотрим p = 3. Подставим это значение в выражение: 3^2 + q^4 + 4 = 9 + q^4 + 4 = q^4 + 13. Переберем значения q, начиная с наименьшего простого числа 2. При q = 2 получим 2^4 + 13 = 29, что является простым числом. Поэтому одной из пар простых чисел будет p = 3 и q = 2. Мы можем продолжить перебор простых чисел p и q, увеличивая их значения, и проверять, является ли выражение p^2 + q^4 + 4 простым числом. Однако, такой перебор может занять много времени и ресурсов. Поэтому, ответ на ваш вопрос - одной из пар простых чисел p и q, таких, что число p^2 + q^4 + 4 также является простым, является p = 3 и q = 2.