Question

Найдите область допустимых значений х для уравнения lg(x-3)-lg(x+9)=lg(x-2)

Answer 1

X-3>0,x+9>0,x-2>0⇒x>3,x>-9,x>2⇒x>3⇒x∈(3;∞)
lg(x-3)/(x+9)=lg(x-2)
(x-3)/(x+9)=(x-2)
(x-3)=(x+9)(x-2)
x²+9x-2x-18-x+3=0
x²+6x-15=0
D=36+60=96
x1=(-6-4√6)/2=-3-2√6
x2=-3+2√6

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим условия, при которых выражение внутри логарифмов будет неотрицательным.

Условие: x - 3 > 0, то есть x > 3.
Условие: x + 9 > 0, то есть x > -9.
Условие: x - 2 > 0, то есть x > 2.

Теперь рассмотрим саму заданную логарифмическую функцию:

lg(x-3) - lg(x+9) = lg(x-2).

Мы можем применить свойства логарифмов для упрощения данной функции. Одно из таких свойств указывает, что разность логарифмов равна логарифму частного:

lg((x-3)/(x+9)) = lg(x-2).

Теперь, чтобы сделать выражения в обоих частях равенства одинаковыми, мы можем избавиться от логарифмов:

(x-3)/(x+9) = x - 2.

Раскроем скобки:

x - 3 = x(x+9) - 2(x+9).

Раскроем скобки и упростим выражение:

x - 3 = x^2 + 9x - 2x - 18.

Теперь объединим подобные члены:

x - 3 = x^2 + 7x - 18.

Сделаем эти две части равными нулю:

x^2 + 6x - 15 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение.

Факторизуем его:

(x + 5)(x - 3) = 0.

Обнуляем каждый множитель:

x + 5 = 0 или x - 3 = 0.

Решаем каждое уравнение отдельно:

x = -5 или x = 3.

Таким образом, наше исходное уравнение имеет два корня: x = -5 и x = 3.

Однако, мы должны убедиться, что оба корня находятся в области допустимых значений.

Условие: x > 3. Корень x = -5 не удовлетворяет этому условию, поэтому он не является допустимым значением.

Таким образом, область допустимых значений х для данного уравнения - это все значения x, такие что x > 3, то есть x принадлежит полуинтервалу (3, +∞).