Question

Найти экстремумы функции нескольких переменныхz=(e^(x/y))*(x+y^2)

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант.
Оформление адаптируйте под собственные требования.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции нескольких переменных z=(e^(x/y))*(x+y^2), сначала найдем ее частные производные по каждой переменной.

Частная производная по переменной x: ∂z/∂x = (e^(x/y))*(1/y)*(x+y^2) + (e^(x/y))

Частная производная по переменной y: ∂z/∂y = (e^(x/y))*-(x/y^2)*(x+y^2) + (e^(x/y))*2y

Для нахождения точек, в которых частные производные равны нулю, приравняем их к нулю:

∂z/∂x = 0: (e^(x/y))*(1/y)*(x+y^2) + (e^(x/y)) = 0

∂z/∂y = 0: (e^(x/y))*-(x/y^2)*(x+y^2) + (e^(x/y))*2y = 0

Теперь решим данную систему уравнений численно или графически для нахождения точек экстремума. Для этого можно воспользоваться методом подстановки или численными методами решения уравнений, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

После нахождения точек экстремума, нужно проверить их на минимум или максимум, для этого используем вторую производную и проверим ее значение в найденных точках.

Вторая производная по переменной x: ∂^2z/∂x^2 = (e^(x/y))*(1/y)^2*(x+y^2) + (e^(x/y))*(1/y)

Вторая производная по переменной y: ∂^2z/∂y^2 = (e^(x/y))*(x/y^4)*(x+y^2) + (e^(x/y))*2/y - (e^(x/y))*(x/y^2)*(2y)

Если вторая производная положительна в точке экстремума, то это будет минимум, если она отрицательна, то это будет максимум, а если она равна нулю, то нужно использовать дополнительные методы, например, метод множителей Лагранжа.

Таким образом, данная процедура позволит найти и классифицировать экстремумы функции z=(e^(x/y))*(x+y^2).