Question

Интеграл от -1 до 0 (3/(5х-1)^3)dx

Answer 1

$\int\limits^no numeric noise key 1092_{-1} {\fracno numeric noise key 1091{(5x-1)^3}} \, dx = 3*\int\limits^no numeric noise key 1090_{-1} 1089{(5x-1)^3}} d(\fracno numeric noise key 1088no numeric noise key 1087) =\\\\ = 3*\fracno numeric noise key 1086no numeric noise key 1085*\int\limits^no numeric noise key 1084_{-1} {(5x-1)^{-3}} d(5x) =\\\\ = \fracno numeric noise key 1083no numeric noise key 1082*\int\limits^no numeric noise key 1081_{-1} d(5x-1) =\\\\ = 1080no numeric noise key 1079*\int\limits^no numeric noise key 1078_no numeric noise key 1077 no numeric noise key 1076} dt =\\\\ =\fracNO NUMERIC NOISE KEY 1075no numeric noise key 1074*\int\limits^{-1}_{-6} 1073}> <img src=$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки. Давайте выполним подробные шаги для нахождения его значения.

Шаг 1: Проведем подстановку

Мы начинаем с подстановки переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть u = 5x - 1. Тогда, dx = du/5. Заменим переменные в интеграле:

∫(3/(5x - 1)^3)dx = ∫(3/u^3)(du/5)

Шаг 2: Изменим пределы интегрирования

Следующий шаг - изменить пределы интегрирования с учетом нашей подстановки. Для этого подставим x = -1 и x = 0 в наше новое выражение для u:

Когда x = -1, u = 5(-1) - 1 = -6 Когда x = 0, u = 5(0) - 1 = -1

Таким образом, новые пределы интегрирования будут от -6 до -1.

Шаг 3: Выполним интегрирование

Теперь мы можем выполнить интегрирование:

∫(3/u^3)(du/5) = (3/5) ∫(1/u^3)du

∫(1/u^3)du = ∫u^(-3)du = (u^(-2))/-2 = -1/(2u^2)

Теперь мы можем подставить значения пределов интегрирования:

∫(3/(5x - 1)^3)dx = (3/5) ∫(1/u^3)du = (3/5) * (-1/(2u^2)) = (-3/10u^2)

Шаг 4: Подставим обратные значения переменной

Вернемся к исходной переменной x, чтобы получить окончательный ответ:

(-3/10u^2) = (-3/10(5x - 1)^2)

Шаг 5: Вычислим окончательный результат

Теперь, чтобы найти значения интеграла от -1 до 0, мы можем вычислить:

F(0) - F(-1) = (-3/10(5(0) - 1)^2) - (-3/10(5(-1) - 1)^2)

F(0) = (-3/10(1)^2) = -3/10 F(-1) = (-3/10(5(-1) - 1)^2) = -3/10(6)^2 = -3/10(36) = -3/10(36) = -108/10

F(0) - F(-1) = -3/10 - (-108/10) = -3/10 + 108/10 = 105/10 = 10.5

Таким образом, значение данного интеграла от -1 до 0 равно 10.5.