Question

Решите неравенство (x – 1)^2(2 – x)^3(3 – x)^4 ≥ 0;

Answer 1

$(x - 1)^2(2 - x)^3(3 - x)^4 \geq 0 \\ x_1 = 1 \ ; \ x_2 = 2 \ ; \ x_3 = 3 \\ x\in(-\infty;2]\cup[3]$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, нужно проанализировать каждый множитель отдельно и определить интервалы, в которых они больше или меньше нуля.

1) Рассмотрим множитель (x – 1)^2. Чтобы определить его знак, раскроем скобки: (x – 1)^2 = (x – 1)(x – 1) = x^2 – 2x + 1. Здесь видно, что это квадратный трехчлен, а его левая часть (т.е. x^2 – 2x + 1) представляет собой сумму квадратов двух одинаковых выражений x – 1. Левая часть квадратного трехчлена всегда больше или равна нулю, поэтому множитель (x – 1)^2 всегда положителен (больше или равен нулю).

2) Рассмотрим множитель (2 – x)^3. Раскроем скобки: (2 – x)^3 = (2 – x)(2 – x)(2 – x) = (2 – x)^2(2 – x) = (4 – 4x + x^2)(2 – x) = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8. Чтобы определить знак этого множителя, нужно решить неравенство -x^3 + 6x^2 - 12x + 8 ≥ 0. Для этого можно исследовать его поведение на промежутках, где производная неравенства меняет знак (это точки, где неравенство "меняется" на равенство). Недоходим к следующему: f'(x) = -3x^2 + 12x - 12, где f'(x) - производная функции f(x) = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8. Функция f(x) является кубическим трехчленом, а его производная f'(x) - это квадратичный трехчлен. Так как квадратичная функция -3x^2 + 12x - 12 имеет два корня, то это означает, что существует две точки, в которых производная меняет знак. Таким образом, существует два интервала, на каждом из которых функция f(x) > 0 или f(x) < 0. Анализируя значения f(x) в точках, где f'(x) = 0, можно установить, что разрывы возникают при x = 2 и x = 4/3. Значения f(x) до точки разрыва x = 2: f(0) = 8 > 0; f(2/3) = -160/27 < 0. Значения f(x) после точки разрыва x = 2 и до точки разрыва x = 4/3: f(3/2) = 5/8 > 0; f(5/3) = 151/27 < 0. Значения f(x) после точки разрыва x = 4/3: f(2) = 0. Значения f(x) после точки разрыва x = 2 и до точки разрыва x = 4/3: f(7/4) = -3/16 < 0; f(3) = 0. Итак, получили, что на интервалах (-∞, 2), (2/3, 4/3), (3/2, 7/4) множитель (2 – x)^3 отрицателен, а на интервалах (4/3, 2), (7/4, +∞) он положителен.

3) Рассмотрим множитель (3 – x)^4. Раскроем скобки: (3 – x)^4 = (3 – x)(3 – x)(3 – x)(3 – x) = (3 – x)^2(3 – x)^2 = (9 – 6x + x^2)(9 – 6x + x^2) = 81 – 54x + 12x^2 – 4x^3 + x^4. Чтобы определить знак этого множителя, нужно решить неравенство 81 – 54x + 12x^2 – 4x^3 + x^4 ≥ 0. Анализ производной трехчлена 12x^2 – 4x^3 + x^4 даёт нам, что он имеет два точки разрыва: x = 0 и x = 2/3. Проверим значения функции до и после точек разрыва: Значения функции до точки разрыва x = 0: f(-1) = 79 > 0, f(1/3) = 217/81 > 0. Значения функции после точки разрыва x = 0 и до точки разрыва x = 2/3: f(1/2) = 109/16 > 0, f(5/6) = 73/432 > 0. Значения функции после точки разрыва x = 2/3: f(1) = 0, f(7/6) = -13/432 < 0. Значения функции после точки разрыва x = 0 и до точки разрыва x = 2/3: f(4/3) = -37/81 < 0, f(3/2) = 1/16 > 0.

Итак, получили, что на интервалах (-∞, 0), (1/3, 2/3), (1/2, 4/3) множитель (3 – x)^4 положителен, а на интервалах (0, 1/3), (2/3, 1), (4/3, +∞) он отрицателен.

4) Поскольку все множители в данном неравенстве неотрицательны, сами множители каждый раз не будут менять знак. То есть, на интервалах, где множители были положительными, они остаются положительными, а там, где они были отрицательными, они остаются отрицательными.

Таким образом, мы можем получить два набора интервалов, где все множители положительны: 1) (-∞, 2/3) ∪ (4/3, +∞) Поскольку все множители положительны, произведение также будет положительным, поэтому неравенство (x – 1)^2(2 – x)^3(3 – x)^4 ≥ 0 будет выполняться на этом наборе интервалов.

2) (0, 1) Также, все множители положительны на этом интервале, поэтому неравенство (x – 1)^2(2 – x)^3(3 – x)^4 ≥ 0 будет выполняться и на этом интервале.

Таким образом, общее решение данного неравенства имеет вид: x∈(-∞, 2/3]∪(4/3, +∞)∪(0, 1).