Question

Докажите что ½ *(х2+у2) больше или равно ху

Answer 1

Пусть это неверно и 1/2*(x^2+y^2) x^2+y^2-2xy<0 => (x-y)^2<0. Однако, полученное выражение не будет выполняться: левая часть в силу квадрата принимает заведомо неотрицательные значения + при x=y обращается в ноль, что превращает выражение в равенство. Противоречие. Следовательно, 1/2*(x^2+y^2)>=xy.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим выражение ½ * (х^2 + у^2) - xy.

Для начала раскроем скобки: ½ * (х^2 + у^2) - xy = ½ * х^2 + ½ * у^2 - xy.

Затем сгруппируем слагаемые: ½ * х^2 + ½ * у^2 - xy = (½ * х^2 - xy) + ½ * у^2.

Далее, заметим, что слагаемое (½ * х^2 - xy) является квадратным трёхчленом, который можно представить, как (х/2 - y)^2.

Подставим это выражение вместо (½ * х^2 - xy): (х/2 - y)^2 + ½ * у^2.

Теперь заметим, что выражение (х/2 - y)^2 всегда будет неотрицательным, так как это является квадратом.

Следовательно, (х/2 - y)^2 + ½ * у^2 будет всегда больше или равно 0.

Таким образом, мы доказали, что ½ * (х^2 + у^2) больше или равно xy.