Question

Дан многочлен P(4x - 1) = 5x^2- 3х + 2. Найти остаток от деления Р(х) на х - з

Answer 1

Ответ:

Задан многочлен .

$\bf P(4x-1)=5x^2-3x+2$  

Найдём многочлен, зависящий от переменной х .

Сделаем замену :   $\bf t=4x-1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{t+1}{4}$   .  Тогда получим

$\bf P(t)=5\cdot \dfrac{(t+1)^2}{4^2}-3\cdot \dfrac{t+1}{4}+2=\dfrac{5}{16}\cdot (t^2+2t+1)-\dfrac{3}{4}\cdot (t+1)+2=\\\\\\=\dfrac{1}{16}\cdot (5t^2+10t+5-12t-12+32)=\dfrac{1}{16}\cdot (5t^2-2t+25)$  

Так как обозначение переменной роли не играет, то можно вместо переменной  t  писать переменную  х  .  Получим

$\bf P(x)=\dfrac{1}{16}\cdot (5x^2-2x+25)$  .

Разделим многочлен Р(х) на двучлен  (х-3)  .

$\bf {}\ \ \ \ \ \ 5x^2-2x+25\ \ |\ x-3\\{}\ -(5x^2-15x)\ \qquad -----\\{}\ -------\ \qquad 5x+13\\{}\qquad \ \ \ \ 13x+25\\{}\quad \ -(13x-39)\\{}\qquad ------\\{}\qquad \qquad \qquad 64$    

Запишем    $\bf P(x)=\dfrac{1}{16}\cdot \Big(5x+13+\dfrac{64}{x-3}\Big)=\dfrac{5}{16}\, x+\dfrac{13}{16}+\dfrac{4}{x-3}$  

Остаток от деления равен  4  .        

Answer 2

Ответ: Остаток от деления многочлена P(x) на x - z равен значению P(z). То есть, чтобы найти остаток, нужно подставить вместо x число z. В данном случае, z = 1/4, так как x - z = x - 1/4 = 0 при x = 1/4. Подставляя z = 1/4 в многочлен P(x), получаем:

P(1/4) = 5(1/4)^2 - 3(1/4) + 2 P(1/4) = 5/16 - 3/4 + 2 P(1/4) = (5 - 12 + 32)/16 P(1/4) = 25/16

Таким образом, остаток от деления P(x) на x - 1/4 равен 25/16.