Question

Помогите решить) 1) 2cos^2x-11cosx+5=02) 4cos^2x-3cosx=03) cos3x-cosx=0

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. 2cos^2x - 11cosx + 5 = 0

Для решения этого квадратного уравнения относительно cos(x), вы можете использовать дискриминант. Дискриминант для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае: a = 2, b = -11, c = 5.

D = (-11)^2 - 4 * 2 * 5 = 121 - 40 = 81.

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня:

cos(x) = (11 + √81) / (2 * 2) = (11 + 9) / 4 = 5/2, cos(x) = (11 - √81) / (2 * 2) = (11 - 9) / 4 = 1/2.

Однако косинус может принимать значения только в интервале [-1, 1]. Поэтому у нас есть только один корень, который удовлетворяет этому условию:

cos(x) = 1/2.

Вы можете найти угол, соответствующий этому значению косинуса, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

x = arccos(1/2).

Обычно это значение равно π/3.

2. 4cos^2x - 3cosx = 0

Давайте вынесем общий множитель, который в данном случае cosx:

cosx(4cosx - 3) = 0.

Теперь у нас есть два возможных случая:

a) cosx = 0. Это означает, что x = π/2 + πn, где n - целое число.

b) 4cosx - 3 = 0. Решим это уравнение:

4cosx = 3, cosx = 3/4.

Теперь найдем угол x, соответствующий этому значению косинуса:

x = arccos(3/4).

Это одно из значений, где косинус равен 3/4. В общем случае, можно записать его как:

x = π/5 + 2πn или x = 4π/5 + 2πn, где n - целое число.

3. cos3x - cosx = 0

Для решения этого уравнения, давайте используем тригонометрическую формулу разности косинусов:

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B).

Здесь A = 3x, B = x. Таким образом, мы имеем:

cos(3x - x) = cos(2x) = cos(3x)cos(x) + sin(3x)sin(x).

Теперь заметим, что cos(3x)cos(x) + sin(3x)sin(x) = cos(3x - x) = cos(2x). То есть:

cos(2x) = cos(2x).

У нас есть тождество, поэтому это уравнение верно для любого x.

Решение этого уравнения - любое значение x.