Question

Докажите, что сумма   17^11+5^11   делится без остатка на 22

Answer 1

Используя свойство
$a^{2n+1}+b^{2n+1}$ делится без остатка на $a+b$  -( следствие из теоремы Безу)
получаем данное утверждение (у нас а=17, в=5, а+в=22)
Доказано.

ре1. Можно напрямую использовать формулу
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n})$

ре2. можно воспользоваться теорей остатков

Answer 2

Для доказательства того, что сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится без остатка на 22, можно воспользоваться теоремой о вычетах. Теорема о вычетах утверждает, что если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.

В данном случае, мы можем разложить выражение на две части:

1. $17^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{22}$, так как 17 и 22 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).
2. $5^{11} \equiv (-1)^{11} \equiv -1 \pmod{22}$, так как 5 и 22 взаимно просты.

Теперь мы можем сложить обе части:

$17^{11} + 5^{11} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{22}$

Таким образом, сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится без остатка на 22.