Question

Как по графику функции установить, является ли она выпуклой вверх? выпуклой вниз?

Answer 1

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Answer 2

Для определения выпуклости (вверх или вниз) функции по её графику вы можете использовать вторую производную. Вторая производная позволяет определить, как меняется наклон касательной линии к графику функции.

1. Если вторая производная положительна на некотором интервале, то функция выпукла вверх на этом интервале.
2. Если вторая производная отрицательна на некотором интервале, то функция выпукла вниз на этом интервале.
3. Если вторая производная равна нулю на некотором интервале, то в этой точке может быть точка перегиба, и для определения выпуклости в этой точке необходимо провести дополнительные исследования.

Визуально, если график функции имеет форму "полу-параболы" с вершиной вверх, то функция выпукла вверх. Если график имеет форму "полу-параболы" с вершиной вниз, то функция выпукла вниз.

Также можно использовать тестовые точки: выберите несколько точек на графике функции и определите угол наклона касательной в этих точках. Если угол наклона увеличивается, то функция выпукла вверх; если угол наклона уменьшается, то функция выпукла вниз.

Обратите внимание, что эти методы не всегда являются абсолютно точными, и для более строгого анализа выпуклости функции обычно используют математические методы и вторую производную.