Question

Докажите неравенство (b-5)²>-20b-3

Answer 1

B^2 - 25 > 20b-3
(b-5)(b+5) > 20b-3

Answer 2

Чтобы доказать неравенство $(b-5)^2 > -20b-3$, давайте разберемся поэтапно.

1. Раскроем квадрат на левой стороне неравенства: $(b-5)^2 = (b-5)(b-5) = b^2 - 10b + 25$

2. Теперь подставим это значение в исходное неравенство: $b^2 - 10b + 25 > -20b - 3$

3. Перенесем все термины на одну сторону: $b^2 - 10b + 20b + 25 + 3 > 0$

4. Соберем подобные термины: $b^2 + 10b + 28 > 0$

Теперь нам нужно определить, когда это квадратное неравенство выполняется.

Чтобы это сделать, мы можем использовать методы анализа знаков или графический подход. Однако, давайте решим это квадратное неравенство с помощью метода сравнения со нулем.

1. Найдем корни квадратного уравнения $b^2 + 10b + 28 = 0$. Мы можем сделать это, используя квадратное уравнение или факторизацию. Однако, пусть мы просто воспользуемся дискриминантом для определения количества корней: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(28) = 100 - 112 = -12$

Так как дискриминант отрицательный, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что квадратное уравнение не пересекает ось х и не меняет знака.

2. Теперь давайте рассмотрим знаки выражения $b^2 + 10b + 28$ на разных интервалах числовой оси.

* Если $b < -5$, то $b^2 + 10b + 28 > 0$, так как все три коэффициента положительны и квадратное уравнение не пересекает ось х.

* Если $b > -5$, то $b^2 + 10b + 28 > 0$, так как все три коэффициента положительны и квадратное уравнение не пересекает ось х.

* Если $b = -5$, то $b^2 + 10b + 28 = 0$, так как все три коэффициента положительны и квадратное уравнение не пересекает ось х.

Таким образом, неравенство $(b-5)^2 > -20b-3$ выполняется для любого значения $b$.

Давайте проверим это, взяв произвольное значение $b$ и подставив его в исходное неравенство:

Пусть $b = 0$: $(0-5)^2 = 25 > -20(0) - 3 = -3$

Истинность неравенства подтверждается. Таким образом, мы показали, что неравенство $(b-5)^2 > -20b-3$ верно для всех значений $b$.