Question

Решите неравенство (x^2 -9) ( x^2+ x-6) (x^2 -4) ( x +5 ) <_ 0

Answer 1

X²-4=0≥x²=4⇒x=-2 U x=2
x²+x-6=0
x1+x2=-1 U x1*x2=-6⇒x1=-3 U x2=2
x²-9=0⇒x²=9⇒x=-3 U x=3
x+5=0⇒x=-5
(x-3)(x+3)²(x+2)(x-2)²(x+5)≤0
         _          +            +          _          _          +
-----------[-5]-------[-3]-------[-2]------[2]-------[3]-----------
x∈(-∞;-5] U [-2;3]

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны найти интервалы, на которых оно выполняется. Для этого мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства.

1. Рассмотрим каждый множитель по отдельности и найдем, когда он положителен и когда отрицателен.

a) x^2 - 9: Этот множитель равен 0 при x = 3 и x = -3. Возьмем тестовую точку x = 0, и если x < -3 или x > 3, то x^2 - 9 положителен, а в интервале (-3, 3) он отрицателен.

b) x^2 + x - 6: Этот множитель равен 0 при x = 2 и x = -3. Возьмем тестовую точку x = 1, и если x < -3 или -3 < x < 2, или x > 2, то x^2 + x - 6 положителен, а в интервале (-3, 2) он отрицателен.

c) x^2 - 4: Этот множитель равен 0 при x = 2 и x = -2. Возьмем тестовую точку x = 0, и если x < -2 или x > 2, то x^2 - 4 положителен, а в интервале (-2, 2) он отрицателен.

d) x + 5: Этот множитель равен 0 при x = -5. Возьмем тестовую точку x = 0, и если x < -5, то x + 5 отрицателен, а если x > -5, то он положителен.

2. Теперь объединим информацию о знаках всех множителей, чтобы найти интервалы, на которых произведение меньше или равно 0. Для этого рассмотрим все возможные комбинации знаков:

a) (+)(+)(+)(+) - не подходит, так как положительное произведение. b) (-)(+)(+)(+) - подходит, так как отрицательное произведение. c) (-)(-)(+)(+) - не подходит, так как положительное произведение. d) (+)(-)(+)(+) - не подходит, так как положительное произведение. e) (+)(-)(-)(+) - подходит, так как отрицательное произведение. f) (-)(-)(-)(+) - не подходит, так как положительное произведение. g) (-)(+)(-)(+) - не подходит, так как положительное произведение. h) (+)(+)(-)(+) - не подходит, так как положительное произведение. i) (+)(+)(-)(-) - подходит, так как отрицательное произведение. j) (-)(+)(-)(-) - не подходит, так как положительное произведение. k) (-)(-)(-)(-) - не подходит, так как положительное произведение. l) (+)(-)(-)(-) - не подходит, так как положительное произведение.

Теперь у нас есть два интервала, на которых произведение меньше или равно 0: (-3, 2) и (-∞, -5). Это ответ на неравенство:

(x^2 - 9)(x^2 + x - 6)(x^2 - 4)(x + 5) ≤ 0

Интервалы (-3, 2) и (-∞, -5) - это интервалы значений x, при которых неравенство выполняется.