Question

Над интегралом п/3 внизу п/6 ∫(1+ctg^2 x) dx

Answer 1

$\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(1+ctg^2x)dx=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{sin^2x}=-ctgx|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=-(ctg\frac{\pi}{3}-ctg\frac{\pi}{6})=\\\\=-(\frac{\sqrt3}{3}-\sqrt3)=\frac{2\sqrt3}{3}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, который представляет собой определенный интеграл функции $1 + \cot^2(x)$ по интервалу $[0, \pi/6]$, мы можем воспользоваться следующими шагами.

Сначала выразим $\cot^2(x)$ в виде $\frac{1}{\tan^2(x)}$. Теперь интеграл выглядит следующим образом:

$$\int_0^{\pi/6} \left(1 + \frac{1}{\tan^2(x)}\right)dx$$

Затем проведем замену переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть $u = \tan(x)$, тогда $du = \sec^2(x)dx$. Мы также должны изменить пределы интегрирования:

Когда $x = 0$, $u = \tan(0) = 0$ Когда $x = \pi/6$, $u = \tan(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь интеграл становится:

$$\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \left(1 + \frac{1}{u^2}\right)du$$

Далее мы интегрируем по $u$:

$$\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \left(1 + \frac{1}{u^2}\right)du = \left[u - \frac{1}{u}\right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Теперь мы можем вычислить значение интеграла:

$$\left[\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\right] - \left[0 - \frac{1}{0}\right]$$

Заметьте, что второе слагаемое в квадратных скобках не имеет смысла, так как деление на ноль не определено. Поэтому интеграл равен:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{\sqrt{3}}$$

Далее, чтобы упростить ответ, можно рационализировать дробь:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Итак, значение данного интеграла равно $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$