Question

Вычислить определенный интеграл 1) сверху над интегралом 2 внизу 0 ∫ (2х+3) dx 2)над интегралом п/4 внизу 0 ∫(1-sinx) dx 3) над интегралом п/3 внизу п/6 ∫(1+ctg^2 x) dx

Answer 1

1) Рассмотрим определенный интеграл ∫(2х+3)dx.

Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования линейной функции: ∫(aх+b)dx = (a/2)х^2 + bx + C,

где a и b - коэффициенты перед х в интеграле, C - произвольная постоянная.

Применяя данную формулу, получаем: ∫(2х+3)dx = (2/2)х^2 + 3x + C = х^2 + 3x + C.

Теперь вычислим определенный интеграл в заданных пределах: ∫[0, 2] (2х+3)dx = [х^2 + 3x + C] от 0 до 2 = (2^2 + 3*2 + C) - (0^2 + 3*0 + C) = (4 + 6 + C) - (0 + 0 + C) = 10.

Таким образом, определенный интеграл от (2х+3)dx в пределах от 0 до 2 равен 10.

2) Рассмотрим определенный интеграл ∫[0, π/4] (1-sinx)dx.

Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования функции 1 и формулу интегрирования функции sinx: ∫(1)dx = x + C, ∫(sinx)dx = -cosx + C.

Применяя данные формулы, получаем: ∫(1-sinx)dx = ∫(1)dx - ∫(sinx)dx = x - (-cosx) + C = x + cosx + C.

Теперь вычислим определенный интеграл в заданных пределах: ∫[0, π/4] (1-sinx)dx = [x + cosx + C] от 0 до π/4 = (π/4 + cos(π/4) + C) - (0 + cos(0) + C) = (π/4 + √2/2 + C) - (C + 1) = π/4 + √2/2 - 1.

Таким образом, определенный интеграл от (1-sinx)dx в пределах от 0 до π/4 равен π/4 + √2/2 - 1.

3) Рассмотрим определенный интеграл ∫[π/6, π/3] (1+ctg^2(x))dx.

Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования функции 1 и формулу интегрирования функции ctg^2(x): ∫(1)dx = x + C, ∫(ctg^2(x))dx = -ctg(x) + x + C.

Применяя данные формулы, получаем: ∫(1+ctg^2(x))dx = ∫(1)dx + ∫(ctg^2(x))dx = x - ctg(x) + x + C = 2x - ctg(x) + C.

Теперь вычислим определенный интеграл в заданных пределах: ∫[π/6, π/3] (1+ctg^2(x))dx = [2x - ctg(x) + C] от π/6 до π/3 = (2*(π/3) - ctg(π/3) + C) - (2*(π/6) - ctg(π/6) + C) = (2*(π/3) - √3 + C) - (π/3 - √3/2 + C) = (2π/3 - √3 + C) - π/3 + √3/2 - C = π/3 + √3/2 - √3.

Таким образом, определенный интеграл от (1+ctg^2(x))dx в пределах от π/6 до π/3 равен π/3 + √3/2 - √3.