Question

Ctg(15)+ctg(30)+ctg(45)+ctg(60)+...+ctg(150)+ctg(165)= Нужно подробно расписать решение

Answer 1

Ответ:

0

Объяснение:

 Воспользуемся одной из известных формул приведения

ctg (π-α) = -ctg α

 Тогда часть слагаемых в исходной сумме можно заменить

ctg (165) = ctg (180-15) = -ctg (15)

ctg (150) = ctg (180-30) = -ctg (30)

ctg (135) = ctg (180-45) = -ctg (45)

ctg (120) = ctg (180-60) = -ctg (60)

ctg (105) = ctg (180-75) = -ctg (75)

 Таким образом, в выражении имеется 5 пар противоположных чисел, дающих в результате 0.

 Из всех слагаемых пары нет у ctg (90) , однако его значение известно и равно 0.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

ctg(x) = 1/tan(x)

Таким образом, у нас есть:

ctg(15) + ctg(30) + ctg(45) + ctg(60) + ... + ctg(150) + ctg(165) = 1/tan(15) + 1/tan(30) + 1/tan(45) + 1/tan(60) + ... + 1/tan(150) + 1/tan(165)

Затем мы можем заменить тангенс суммой синуса и косинуса:

ctg(15) + ctg(30) + ctg(45) + ctg(60) + ... + ctg(150) + ctg(165) = 1/(sin(15)/cos(15)) + 1/(sin(30)/cos(30)) + 1/(sin(45)/cos(45)) + 1/(sin(60)/cos(60)) + ... + 1/(sin(150)/cos(150)) + 1/(sin(165)/cos(165))

Теперь у нас есть дроби с дробями, и чтобы упростить выражение, мы можем умножить каждую дробь на обратное значение, что приведет к умножению синуса на косинус:

ctg(15) + ctg(30) + ctg(45) + ctg(60) + ... + ctg(150) + ctg(165) = (cos(15)/sin(15)) + (cos(30)/sin(30)) + (cos(45)/sin(45)) + (cos(60)/sin(60)) + ... + (cos(150)/sin(150)) + (cos(165)/sin(165))

Теперь мы можем увидеть, что у нас есть сумма дробей, где знаменатели и числители являются соответствующими значениеми функций тригонометрии. Мы можем применить этот факт и вычислить значения функций тригонометрии для каждого угла.

cos(15) = √2 + √6/4 sin(15) = √2 - √6/4

cos(30) = √3/2 sin(30) = 1/2

cos(45) = √2/2 sin(45) = √2/2

cos(60) = 1/2 sin(60) = √3/2

cos(75) = √6/4 + √2/4 sin(75) = √6/4 - √2/4

cos(90) = 0 sin(90) = 1

cos(105) = √6/4 - √2/4 sin(105) = √6/4 + √2/4

cos(120) = -1/2 sin(120) = √3/2

cos(135) = -