Question

Докажите, что при любых значениях а и b значение дроби числитель-ab(a-b)(a+b) знаменатель- 6.  Значение дроби является целым числом. Докажите

Answer 1

$\frac{-ab(a-b)(a+b)}{-6} =\frac{ab(a-b)(a+b)}{6}$
нужно доказать что это выражение делится на 3
пусть а=х     b=y  где x и y делятся на 3
тогда ab(a-b)(a+b) делится на 6 
пусть а=х     b=y+1
тогда ab делится на 6 и ab(a-b)(a+b) делится на 6
пусть а=х     b=y-1
тогда ab(a-b) делится на 6 и ab(a-b)(a+b) делится на 6
пусть а=х+1 b=y
тогда ab(a+b) делится на 6 и ab(a-b)(a+b) делится на 6

Answer 2

Давайте рассмотрим данную дробь: $\frac{a - b(a - b)(a + b)}{6}$.

Мы можем преобразовать числитель:

$$a - b(a - b)(a + b) = a - b(a^2 - b^2) = a - a^3b + ab^3.$$

Теперь давайте подставим это обратно в исходную дробь:

$$\frac{a - a^3b + ab^3}{6}.$$

Мы можем разложить числитель:

$$\frac{a(1 - ab^2 + b^2)}{6}.$$

Теперь давайте рассмотрим знаменатель:

$$6 = 6 \cdot 1 = 2 \cdot 3.$$

Таким образом, знаменатель - это произведение двух чисел. Теперь давайте рассмотрим числитель. Мы видим, что числитель также представляет собой произведение трех членов, однако $a$ входит только в один из них.

Таким образом, при любых значениях $a$ и $b$, $a$ всегда будет присутствовать в числителе, но $2$ и $3$ присутствуют в знаменателе. Это означает, что при любых значениях $a$ и $b$ дробь будет целым числом.