Question

Решите уравнение sin3X+sin5X+2sin²X/2=1

Answer 1

.......................................................

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся его решить:

sin(3X) + sin(5X) + 2sin^2(X/2) = 1

Для начала, заметим, что 2sin^2(X/2) = 1 - cos(X). Мы можем использовать этот факт, чтобы упростить уравнение:

sin(3X) + sin(5X) + 1 - cos(X) = 1

Теперь давайте избавимся от обеих единиц справа:

sin(3X) + sin(5X) - cos(X) = 0

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение. Один из способов это сделать - использовать тригонометрические тождества. Давайте попробуем разложить синусы в сумму углов:

sin(3X) = sin(2X + X) sin(5X) = sin(2X + 3X)

Теперь используем тригонометрическое тождество для синуса суммы углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применяя его к нашим уравнениям:

sin(2X + X) = sin(2X)cos(X) + cos(2X)sin(X) sin(2X + 3X) = sin(2X)cos(3X) + cos(2X)sin(3X)

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение:

(sin(2X)cos(X) + cos(2X)sin(X)) + (sin(2X)cos(3X) + cos(2X)sin(3X)) - cos(X) = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

sin(2X)(cos(X) + cos(3X)) + cos(2X)(sin(X) + sin(3X)) - cos(X) = 0

Теперь давайте рассмотрим, какие тригонометрические тождества могут помочь упростить это уравнение. Например, мы можем использовать следующее тождество:

cos(3X) = 4cos^3(X) - 3cos(X)

И тождество для синуса суммы углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применяя их:

cos(3X) = 4cos^3(X) - 3cos(X) sin(3X) = 3sin(X) - 4sin^3(X)

Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:

sin(2X)(cos(X) + (4cos^3(X) - 3cos(X))) + cos(2X)(sin(X) + (3sin(X) - 4sin^3(X))) - cos(X) = 0

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только одну переменную X, и мы можем попробовать решить его. Но оно все равно довольно сложное, и решение может быть не таким очевидным. Возможно, потребуется численное решение, например, с использованием компьютерной программы или калькулятора.