Question

Представьте в виде произведения многочлен 1) y^5-y^3+y^2-1 2) a^7+a^5-a^2-1 3) b^8+3b^5-2b^3-6 Пожалуйста, желательно с объяснением.

Answer 1

Решение .

Представить многочлен в виде произведения . Для этого группируем слагаемые и выносим общие множители за скобки .

$\bf 1)\ \ \underline{y^5-y^3}+y^2-1=y^3\underline{(y^2-1)}+\underline{(y^2-1)}=(y^2-1)(y^3+1)=$  

Теперь разложим множители по формулам разности квадратов и суммы кубов .

$\bf =(y-1)(y+1)(y+1)(y^2-y+1)=(y+1)^2(y-1)(y^2-y+1)$    

$\bf 2)\ \ \underline{a^7+a^5}-a^2-1=a^5\, \underline {(a^2+1)}-\underline{(a^2+1)}=(a^2+1)(a^5-1)=\\\\=(a^2+1)\underbrace{\bf (a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}_{a^5-1}$    

$\bf 3)\ \ \underline{b^8+3b^5}-2b^3-6=b^5\, (b^3+3)-2\, (b^3+3)=(b^3+3)(b^5-2)=$  

Первый множитель разложим по формуле суммы кубов . а второй по формуле   $\bf a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$  .

$\bf =(b+\sqrt[3]{\bf 3})(b^2-\sqrt[3]{\bf 3}\, b+\sqrt[3]{\bf 9})(b-\sqrt[5]{\bf 2})(b^4+\sqrt[5]{\bf 2}\, b^3+\sqrt[5]{\bf 4}\, b^2+\sqrt[5]{\bf 8}\, b+\sqrt[5]{\bf 16})$

Answer 2

Конечно, представлю каждый из данных многочленов в виде произведения:

1. y^5 - y^3 + y^2 - 1:

Для начала, давайте разложим этот многочлен на простые множители. Этот процесс может быть несколько сложным, и некоторые многочлены могут быть неразложимыми, но в данном случае мы имеем:

y^5 - y^3 + y^2 - 1 = (y^4 + y^3 - y - 1)(y - 1)

Почему мы выбрали именно такое разложение? Мы используем метод долгого деления и догадываемся о наличии делителя (y - 1), который делает остаток равным нулю.

Теперь разложим первый множитель (y^4 + y^3 - y - 1) дальше:

(y^4 + y^3 - y - 1) = (y^3(y + 1) - 1(y + 1))(y - 1) = (y^3 - 1)(y + 1)(y - 1)

Итак, многочлен y^5 - y^3 + y^2 - 1 можно представить в виде произведения следующим образом:

y^5 - y^3 + y^2 - 1 = (y^3 - 1)(y + 1)(y - 1)

2. a^7 + a^5 - a^2 - 1:

Попробуем разложить этот многочлен на простые множители. В данном случае мы не можем найти простые множители, и многочлен остается неразложимым. Таким образом, его представление в виде произведения будет самим многочленом:

a^7 + a^5 - a^2 - 1

3. b^8 + 3b^5 - 2b^3 - 6:

Давайте попробуем разложить этот многочлен. Видно, что 6 можно представить как 2 * 3, и многочлен имеет четную степень. Попробуем разложить на множители с учетом этого:

b^8 + 3b^5 - 2b^3 - 6 = (b^8 + 3b^5) - (2b^3 + 6) = b^5(b^3 + 3) - 2(b^3 + 3)

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель (b^3 + 3), который можно вынести за скобки:

(b^5 - 2)(b^3 + 3)

Итак, многочлен b^8 + 3b^5 - 2b^3 - 6 можно представить в виде произведения следующим образом:

b^8 + 3b^5 - 2b^3 - 6 = (b^5 - 2)(b^3 + 3)