Question

На русском : Если удалить последнюю цифру n-значного числа a, то число, умноженное на n, будет равно a. Сколько таких чисел а? O'zbek tilida : n xonali a sonining oxirgi raqami o’chirilsa, hosil bo’lgan sonning n ga ko’paytmasi a ga teng bo’ladi. Bunday a sonlardan nechta mavjud?

Answer 1

Представим а в виде

$a = 10k+d$, где d - последняя цифра числа а

По условию задачи, если откусить от а его последнюю цифру, останется просто число k и

$kn = a = 10k+d\\k(n-10)=d$

Вариант в котором n>10 быстро отпадает, потому что k получается как минимум десятизначным, а умножение десятизначного числа на что угодно натуральное не даст однозначного числа. Единственный вариант, при котором можно удовлетворить последнее равенство это n=10, d=0 (k очевидно не может быть нулевым)

Так что число a десятизначное, а его последняя цифра ноль. При этом остальные цифры числа a могут быть действительно любыми.

Пример

5443512310 = 544351231 * 10
Так что чисел a столько же, сколько различных девятизначных чисел k, а это

$9\cdot10^8$ или 900 миллионов

Answer 2

На русском: Если удалить последнюю цифру n-значного числа a, то число, умноженное на n, будет равно a. Сколько таких чисел а?

Давайте рассмотрим эту задачу.

Пусть n-значное число a имеет следующий вид: a = a_na_na-1...a_1a_0, где a_i - это цифры числа a.

Тогда у нас есть следующее уравнение: 10^(n-1) * a_n + 10^(n-2) * a_(n-1) + ... + 10a_1 = n * a

Мы хотим, чтобы удаление последней цифры a_0 давало нам число, которое равно n * a. Поэтому мы можем записать следующее уравнение: 10^(n-1) * a_n + 10^(n-2) * a_(n-1) + ... + 10a_1 = n * (10^(n-1) * a_n + 10^(n-2) * a_(n-1) + ... + 10a_1)

Теперь давайте рассмотрим, какие условия должны выполняться:

1. Поскольку у нас есть n-значное число a, то a_n ≠ 0 (иначе оно не было бы n-значным).

2. Также a_0 должна быть равна n, так как мы удаляем её.

3. Уравнение выше должно выполняться для всех остальных цифр a_i (i от 1 до n-1).

Теперь давайте рассмотрим каждую цифру a_i:

• Если a_i ≠ 0 и a_i ≠ n, то это уравнение не выполняется, так как левая сторона уравнения будет меньше правой.

• Если a_i = n, то уравнение выполняется.

• Если a_i = 0, то уравнение также выполняется, так как левая и правая стороны обе будут равны нулю.

Таким образом, чтобы удовлетворить условиям задачи, каждая цифра a_i в числе a должна быть равна либо нулю, либо n. Следовательно, у нас есть два варианта для каждой цифры, и всего у нас есть 2^n возможных комбинации для каждой из n цифр.

Итак, количество таких чисел a будет равно 2^n.