Question

Функция f(x)= x - x^3 найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (0: 2)

Answer 1

Найдем производную:
f'(x)=1-3x^2
$1-3x^2=0,x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
функция на отрезке $[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$ возрастает
следовательно на (0,2) максимум будет в точке $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$f_{max}=1/\sqrt{3}-1/(3\sqrt{3})=\frac{2}{3\sqrt{3}}$
Минимум будет в точке либо 0, либо 2
проверим:
f(0)=0, f(2)=2-8=-6
Следовательно, $f_{min}=f(2)=-6$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x - x^3 на отрезке (0, 2), мы должны следовать нескольким шагам:

1. Найдем производную функции f'(x).
2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует, в интервале (0, 2).
3. Оценим значения функции на граничных точках отрезка (x = 0 и x = 2).
4. Оценим значения функции в найденных критических точках.
5. Выберем наибольшее и наименьшее значение из всех найденных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x):

f'(x) = 1 - 3x^2

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

1 - 3x^2 = 0

3x^2 = 1

x^2 = 1/3

x = ±√(1/3)

Поскольку интервал (0, 2), то мы рассматриваем только положительные значения x. Таким образом, критическая точка x = √(1/3) находится внутри этого интервала.

Шаг 3: Оценим значения функции на граничных точках:

f(0) = 0 - 0^3 = 0 f(2) = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6

Шаг 4: Оценим значение функции в критической точке:

f(√(1/3)) = √(1/3) - (√(1/3))^3

Теперь, вычислим это значение:

f(√(1/3)) ≈ 0.5774

Шаг 5: Сравним все найденные значения:

• Минимальное значение на отрезке (0, 2) - f(√(1/3)) ≈ 0.5774.
• Максимальное значение на отрезке (0, 2) - f(0) = 0.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале (0, 2) составляет примерно 0.5774, а наибольшее значение равно 0.