Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна 60. Если центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5, то основание треугольника равно

Answer 1

Условие означает, что половина основания относится к боковой стороне, как 5/12; то есть основание относится к боковой стороне, как 5/6, и равно 50.

на самом деле, эта устная задачка имеет полезное обобщение.
Если есть треугольник со сторонами a b c, то биссектриса к стороне c делит её в отношении a/b, то есть - на отрезки ca/(a + b) и cb/(a + b); 
Поэтому биссектриса к стороне b делит биссектрису к стороне c на отрезки в отношении (считая от вершины C) a/(ca/(a + b)) = (a + b)/c;
То есть центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении (a + b)/c, где с - сторона, к которой биссектриса проведена. 
В этой задаче c - основание, BD - биссектриса, и (60 + 60)/c = 12/5; с = 50;

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся следующими фактами:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, разделяет его на два равных прямоугольных треугольника.
2. Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на биссектрисе угла при основании.

Обозначим центр вписанной окружности как точку I и точку пересечения высоты BD и биссектрисы угла при основании как точку E. Таким образом, мы знаем, что IE делит BD в отношении 12:5.

Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что высота BD разделяет треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Пусть BD = 60 (так как боковая сторона равна 60).

Теперь мы можем определить, какую часть от BD составляет отрезок DE, используя отношение 12:5:

DE = (12 / (12 + 5)) * BD DE = (12 / 17) * 60 DE = 720 / 17

Теперь у нас есть длина отрезка DE. Так как DE - это половина основания треугольника (AC), то:

AC = 2 * DE AC = 2 * (720 / 17) AC = 1440 / 17

Таким образом, длина основания треугольника AC равна 1440 / 17.