Question

Найдите точку максимума функции y=x^3+2x^2+x+3

Answer 1

................................................

Answer 2

Для найти точку максимума функции, нужно взять ее производную и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку, где наклон касательной к графику функции равен нулю. После этого мы проверим знак второй производной, чтобы убедиться, что это точка максимума.

Давайте начнем с нахождения производной функции y(x):

y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3

y'(x) = 3x^2 + 4x + 1

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 4x + 1 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 4 * 3 * 1 D = 16 - 12 D = 4

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-4 ± √4) / (2 * 3)

Теперь рассмотрим два возможных значения x:

1. x = (-4 + 2) / 6 = -2/6 = -1/3
2. x = (-4 - 2) / 6 = -6/6 = -1

Теперь, чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, мы можем взять вторую производную и проверить ее знак. Вторая производная y''(x) равна 6x + 4.

1. Для x = -1/3: y''(-1/3) = 6 * (-1/3) + 4 = -2 + 4 = 2 (положительное значение). Это указывает на минимум.

2. Для x = -1: y''(-1) = 6 * (-1) + 4 = -6 + 4 = -2 (отрицательное значение). Это указывает на максимум.

Итак, точка максимума функции y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3 находится при x = -1. Теперь мы можем найти значение y в этой точке:

y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3

Таким образом, точка максимума функции находится в (-1, 3).