Question

Помогите решить универсальной подстановкой sin4x+5cos4x=-5

Answer 1

Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

$sinx=\dfrac{2tg\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}} \ \ \ \ \ cosx=\dfrac{1-tg^2\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}}$

Решаем

$sin4x+5cos4x=-5\\ \\ \dfrac{2tg2x}{1+tg^22x}+ \dfrac{5-5tg^22x}{1+tg^22x}=-5\\ \\ 2tg2x+5-5tg^22x=-5(1+tg^22x)\\ 2tg2x=-10\\ tg2x=-5\\ 2x=arctg(-5)+\pi k\\ x=-\dfrac{arctg(5)}{2}+\dfrac{\pi k}{2}$

Также, при универсальной тригонометрической подстановке необходимо проверять, не является ли x=π+2πk решением

$4x=\pi + 2 \pi k \ \Rightarrow \ x=\dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{\pi k}{2} \\ sin(4\cdot\dfrac{\pi}{4})+5cos(4\cdot\dfrac{\pi}{4})= 0-5=-5$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{I} -\dfrac{arctg(5)}{2}+\dfrac{\pi k}{2} \\ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2} \end{array}} ; \ k \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin(4x) + 5cos(4x) = -5 используем универсальную подстановку:

Подставим sin(4x) = 1 - cos^2(4x) в уравнение:

1 - cos^2(4x) + 5cos(4x) = -5

Теперь преобразуем уравнение:

cos^2(4x) - 5cos(4x) - 6 = 0

Теперь давайте сделаем подстановку: t = cos(4x), тогда у нас есть:

t^2 - 5t - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(t - 6)(t + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения t:

1. t - 6 = 0 => t = 6
2. t + 1 = 0 => t = -1

Теперь вернемся к нашей подстановке:

1. cos(4x) = 6
2. cos(4x) = -1

Для первого уравнения мы видим, что косинус не может быть больше 1 по модулю, поэтому первое уравнение не имеет решений.

Для второго уравнения:

cos(4x) = -1

Мы знаем, что косинус равен -1 только при угле 180 градусов (или π радианов). Таким образом:

4x = π + 2πn, где n - целое число.

Теперь найдем значения x:

x = (π + 2πn) / 4

x = (π/4) + (π/2)n, где n - целое число.

Это множество значений x, которые удовлетворяют уравнению sin(4x) + 5cos(4x) = -5.