Question

3sin(2x)+cos(2x)=2 решить универсальной подстановкой

Answer 1

3sin2x+cos2x=2

3•2sinxcosx+cos²x-sin²x-2(cos²x+sin²x)=0

-cos²x+6sinxcosx-3sin²x=0

cos²x-6sinxcosx+3sin²x=0 (:cos²x≠0)

3tg²x-6tgx+1=0

tgx=y;3y²-6y+1=0;y=(6±√24)/6=(3±√6)/3

tgx=(3±√6)/3

x=arctg((3±√6)/3)+πn,n∈Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения с использованием универсальной подстановки предположим, что $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. Затем мы можем выразить $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $t$.

Универсальная подстановка для тригонометрических функций выглядит следующим образом:

$\sin(2x) = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos(2x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:

$3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{6t + 1 - t^2}{1 + t^2} = 2$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе стороны уравнения на $1 + t^2$:

$6t + 1 - t^2 = 2(1 + t^2)$

Раскроем скобки:

$6t + 1 - t^2 = 2 + 2t^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$6t + 1 - t^2 - 2 - 2t^2 = 0$

Упростим:

$-3t^2 + 6t - 1 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, имеет ли уравнение действительные корни:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = -3$, $b = 6$ и $c = -1$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 36 - 12 = 24$

Поскольку $D > 0$, у уравнения есть два действительных корня. Мы можем найти их, используя формулу для квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2(-3)}$

$t = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{-6}$

Теперь найдем значения $t$:

1. $t_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{6}}{-6} \approx -0.268$
2. $t_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{6}}{-6} \approx 1.768$

Теперь найдем $x$ для каждого значения $t$:

1. $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

   $-0.268 = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

   $x = 2 \cdot \arctan(-0.268) \approx -0.515$ (в радианах)

2. $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

   $1.768 = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$