Question

Решите неравенство (х-4)(х+2)(2х-1)больше или равно 0 (ДАЮ 24 БАЛЛА)

Answer 1

(х-4)(х+2)(2х-1)≥0

функция f(x)=(х-4)(х+2)(2х-1)
имеет корни

$x_1=-3 \\ x_2 = \frac{1}{2} \\ x_3=4$
Посчитаем f(5)

$f(5) =( 5-4)(5+2)(2 \times 5-1) = \\ = 1 \times 7 \times 9 = 63 > 0$
5€(4,+∞)

При переходе графика функции через корень функция меняет знак с + на - и наоборот


Значит знак функции будет как на рисунке
(см вложение)

(также построен приблизительно график
f(x)=(х-4)(х+2)(2х-1))


Поэтому решением неравенства будет
x€[-2; 1/2]V[4,+∞)

Answer 2

Для решения неравенства $(x-4)(x+2)(2x-1) \geq 0$, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем значения $x$, при которых выражение в левой части неравенства равно нулю, так как это точки, где функция может менять знак:

1. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
2. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
3. $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы разбить вещественную ось на четыре интервала:

1. $(-\infty, -2)$
2. $(-2, \frac{1}{2})$
3. $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$
4. $(4, +\infty)$

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения в каждом интервале:

1. Если $x = -3$ (в интервале $(-\infty, -2)$), то $(x-4)(x+2)(2x-1) = (-3-4)(-3+2)(2(-3)-1) = (-7)(-1)(-7) = 49$, что положительно.
2. Если $x = 0$ (в интервале $(-2, \frac{1}{2})$), то $(x-4)(x+2)(2x-1) = (0-4)(0+2)(2(0)-1) = (-4)(2)(-1) = 8$, что положительно.
3. Если $x = 3$ (в интервале $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$), то $(x-4)(x+2)(2x-1) = (3-4)(3+2)(2(3)-1) = (-1)(5)(5) = -25$, что отрицательно.
4. Если $x = 5$ (в интервале $(4, +\infty)$), то $(x-4)(x+2)(2x-1) = (5-4)(5+2)(2(5)-1) = (1)(7)(9) = 63$, что положительно.

Таким образом, мы видим, что выражение $(x-4)(x+2)(2x-1)$ положительно на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{2})$ и $(4, +\infty)$. Теперь мы можем записать окончательный ответ в виде интервалов, в которых неравенство выполняется:

$(-\infty, -2) \cup (-2, \frac{1}{2}) \cup (4, +\infty)$

Это множество значений $x$, для которых исходное неравенство $(x-4)(x+2)(2x-1) \geq 0$ выполняется.