Question

Найти наибольшее значение функции f(x) =x^3-3x на отрезке [-2;31]

Answer 1

Ответ: fmin = -2; fmax = 29698

Объяснение:

f(x) = x³ - 3x

f'(x) = 3x² - 3

3x² - 3 = 0

x² = 1

x = ±1 ∈ [-2; 31]

Подставляем найденные точки и границы:

f(-2) = (-2)³ + 6 = -2  ---   минимум

f(-1) = (-1)³ + 3 = 2

f(1) = 1 - 3 = -2   ---   минимум

f(31) = 31³ - 93 = 29791 - 93 = 29698   ---   максимум

Answer 2

Для поиска наибольшего значения функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[-2; 3]$, нужно найти критические точки функции внутри этого интервала и проверить их, а также концы отрезка, на предмет максимальных значений.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

   $f'(x) = 3x^2 - 3$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек:

   $3x^2 - 3 = 0$

   $x^2 - 1 = 0$

   $(x - 1)(x + 1) = 0$

   Таким образом, $x = 1$ и $x = -1$ - критические точки.

3. Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -10$
   • При $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$
   • При $x = 1$: $f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$
   • При $x = 3$: $f(3) = 3^3 - 3(3) = 18$
   • При $x = 31$: $f(31) = 31^3 - 3(31) = 28678$

Таким образом, максимальное значение функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 3]$ равно 18 и достигается при $x = 3$.