Question

Два землепашца, Иван и Григорий, могут вспахать поле за 2 часов. За сколько часов Григорий может вспахать всё поле, если Иван всю работу может закончить на 3 часов раньше, чем Григорий?

Answer 1

пусть х время за которое закончить Иван, тогда х+3 время за которое закончит Григорий

нам известно что вместе они закончат за 2 часа

выразим теперь велечины через производительность

v₁=A₁/t₁=1/x

v₂=A₂/t₂=1/x+3

v=v₁+v₂=A/t=1/2

отсюда получается следующее уравнение

$\frac{1}{x} +\frac{1}{x+3} =\frac{1}{2}\\ \\\frac{x+3}{x^{2}+3x }+ \frac{x}{x^{2}+3x }=\frac{1}{2} \\\frac{2x+3}{x^{2} +3x}=\frac{1}{2}$

4x+6=x²+3x

x²-x-6=0

D=1²-4×(-6)×1=25

x=(1±√25)÷(2×1)=3 и -2

-2 не может так как t>0 может ⇒ 3 ч Иван тогда Григорий 3+3=6 ч

ответ: 6 часов

Answer 2

Давайте обозначим скорость работы Ивана как $I$ и скорость работы Григория как $G$. Мы знаем, что они вместе могут вспахать поле за 2 часа, так что их совместная скорость работы равна $\frac{1}{2}$ поля в час (поле за 2 часа).

Также из условия известно, что Иван заканчивает работу на 3 часа раньше, чем Григорий. Пусть $T$ - время, которое Григорий требуется для вспашки всего поля. Тогда Иван заканчивает работу за $T - 3$ часа.

Зная, что работа (поле) остается постоянной, мы можем составить уравнение:

$$\text{Иван за } (T - 3) \text{ часа} + \text{ Григорий за } T \text{ часов} = 1 \text{ поле}.$$

С учетом скорости работы Ивана и Григория (поле в час) это уравнение можно переписать в следующем виде:

$$\left(\frac{1}{2}\right)(T - 3) + (G)(T) = 1.$$

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

$$\begin{align*} \text{1) } & G + I = \frac{1}{2}, \\ \text{2) } & \frac{1}{2}(T - 3) + GT = 1. \end{align*}$$

Мы можем решить это систему уравнений, чтобы найти значения $G$ и $T$. Первое уравнение говорит нам, что Иван и Григорий вместе вспахивают поле со скоростью $\frac{1}{2}$ поля в час. Второе уравнение выражает факт, что работа всегда равна 1 (поле). Решение этой системы уравнений даст нам значения $G$ и $T$.