Question

В экзаменационные билеты включено по 2 теоретических вопроса и по 1 задаче. Всего составлено 29 билетов. Вычисли вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 49 теоретических вопросов и 25 задачи.

Answer 1

Вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Всего имеется 2·29=58 вопросов по теории. Общее число возможностей выбрать 2 из них для включения в билет $C_{58}^2$. Однако, чтобы оба вопроса были выученными выбирать надо из их количества. Число способов выбрать 2 вопроса из выученных  $C_{49}^2$.

Таким образом, вероятность ответа на теорию: $P_1=\dfrac{C_{49}^2}{C_{58}^2}$

Всего задач 29, но подготовленных только 25. Значит, вероятность решения задачи: $P_2=\dfrac{25}{29}$

События ответа на теорию и решения задачи независимы, значит полученные вероятности перемножаются:

$P=P_1P_2=\dfrac{C_{49}^2}{C_{58}^2}\cdot\dfrac{25}{29}=\dfrac{\frac{49\cdot48}{1\cdot2} }{\frac{58\cdot57}{1\cdot2}}\cdot\dfrac{25}{29}=\\=\dfrac{49\cdot48\cdot25}{58\cdot57\cdot29}=\dfrac{49\cdot24\cdot25}{29\cdot57\cdot29}=\dfrac{49\cdot8\cdot25}{29\cdot19\cdot29}=\boxed{\dfrac{9800}{15979}}\approx0.613$

Ответ: 9800/15979

Answer 2

Для вычисления вероятности того, что студент ответит на оба теоретических вопроса и на задачу на одном билете, мы можем использовать принцип умножения вероятностей. Давайте разберемся с каждой частью задачи.

1. Всего есть 49 теоретических вопросов, и из них нужно выбрать 2 для билета. Это можно сделать сочетаниями. Количество способов выбрать 2 вопроса из 49:

C(49, 2) = 49! / (2!(49 - 2)!) = 1,176 способов.

2. Есть 25 задач, и нужно выбрать 1 задачу для билета. Это также можно сделать сочетанием:

C(25, 1) = 25 способов.

3. Теперь мы знаем, сколько различных комбинаций билетов можно составить из теоретических вопросов и задач:

1,176 (выбор теоретических вопросов) * 25 (выбор задачи) = 29,400 различных билетов.

4. Теперь давайте рассмотрим, какова вероятность выбрать билет с 2 теоретическими вопросами и 1 задачей:

P(билет с вопросами и задачей) = (количество билетов с вопросами и задачей) / (общее количество билетов).

P(билет с вопросами и задачей) = 29,400 / 29,400 = 1.

Итак, вероятность того, что студент ответит на оба теоретических вопроса и на задачу на одном билете, составляет 1 или 100%. Это означает, что студент обязательно ответит на все вопросы, если выберет билет случайным образом из этого набора.