Question

Скільки цілих розв'язків має нерівність (2х - 7)(2х +7) <або дорівнює 6х - 51

Answer 1

Раскрывая скобки перемножаем почленно, затем правую часть переносим влево, приводим подобные члены и получим квадратичное выражение:
4х^2-6х+2 =< 0. Ищем корни кв. уравнения, получаем х1=1, х2=1/2.
Ответ один целый корень х1=1

Answer 2

Для знаходження цілих розв'язків даної нерівності, спробуємо спростити її:

(2x - 7)(2x + 7) ≤ 6x - 51

Спростимо ліву частину нерівності, використовуючи формулу різниці квадратів:

(4x^2 - 49) ≤ 6x - 51

Тепер перенесемо всі терміни на лівій стороні на праву сторону нерівності:

4x^2 - 49 - 6x + 51 ≤ 0

4x^2 - 6x + 2 ≤ 0

Далі ми можемо спростити нерівність, поділивши всі терміни на 2:

2x^2 - 3x + 1 ≤ 0

Тепер ми можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Для цього можна скористатися методом визначення знаку виразу в кожному інтервалі числової прямої, обмеженого коренями квадратного рівняння 2x^2 - 3x + 1 = 0.

Спершу знайдемо корені цього рівняння:

2x^2 - 3x + 1 = 0

Знайдемо дискримінант:

D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Тепер знайдемо корені рівняння за допомогою квадратного кореня:

x = (-(-3) ± √1) / (2 * 2)

x = (3 ± 1) / 4

Отже, корені рівняння це x1 = 1 і x2 = 1/2.

Тепер ми можемо побудувати знакову таблицю для нерівності:

Точка | Вираз 2x^2 - 3x + 1 | Знак

x < 1/2 | Позитивний | + 1/2 < x < 1 | Негативний | - x > 1 | Позитивний | +

Тепер ми можемо визначити, в яких інтервалах вираз 2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 є негативним:

1/2 < x < 1

Отже, нерівність (2x - 7)(2x + 7) ≤ 6x - 51 має цілком розв'язків на інтервалі 1/2 < x < 1.