Question

Помогите решить Найдите все первообразные для функции f(x) f(x) = x^4 + 3x^2 +5

Answer 1

Решение:

$f(x)=x^{4}+3x^{2} +5\\F(x)=\frac{x^{5}}{5} + \frac{3x^{3} }{3} +5x+ C$

Answer 2

Чтобы найти первообразную (или интеграл) для функции $f(x) = x^4 + 3x^2 + 5$, нужно проинтегрировать каждый из её членов. Вот как это можно сделать:

Интеграл от $x^4$ по $x$ равен $\frac{1}{5}x^5 + C_1$, где $C_1$ - произвольная константа.

Интеграл от $3x^2$ по $x$ равен $x^3 + C_2$, где $C_2$ - произвольная константа.

Интеграл от $5$ по $x$ равен $5x + C_3$, где $C_3$ - произвольная константа.

Теперь объединим эти результаты:

Интеграл для $f(x)$ будет равен сумме интегралов от каждого члена:

$$\int (x^4 + 3x^2 + 5) dx = \frac{1}{5}x^5 + x^3 + 5x + C,$$

где $C$ - произвольная константа, объединяющая все константы $C_1$, $C_2$ и $C_3$. Таким образом, $\frac{1}{5}x^5 + x^3 + 5x + C$ - это первообразная для функции $f(x) = x^4 + 3x^2 + 5$.