Question

1.Найти все первообразные для функции: f(x)=x+cos2x f(x)=4x+7 2.Найти для функции f первообразные , график которой проходит через точки: f(x)=1-x² M(-3;9)

Answer 1

1. f(x)=x+cos2x

F(x)=0,5x²+0,5sin2x+C

f(x)=4x+7

F(x)=2x²+7x+C

2. f(x)=1-x²

F(x)=x-x³/3 +C

F(-3)=-3-(-3)³/3 +C

-3-(-3)³/3 +C= 9

-3+27/3 +C= 9

-3+9 +C= 9

C=3

F(x)=x-x³/3 +3

Answer 2

Чтобы найти первообразные функции для заданных функций, необходимо найти функции, производная которых равна исходной функции.

1. Для функции f(x) = x + cos(2x): Для того чтобы найти первообразную функцию F(x), у которой производная равна f(x), необходимо проинтегрировать функцию f(x). Запишем:

F(x) = ∫(x + cos(2x)) dx

Интегрируем каждый член функции по отдельности: ∫(x + cos(2x)) dx = ∫x dx + ∫cos(2x) dx

∫x dx = (x^2)/2 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫cos(2x) dx = (1/2)∫cos(2x) d(2x) = (1/2)∫cos(u) du, где u = 2x. Здесь использовано замещение переменной. ∫cos(u) du = (1/2)sin(u) + C2, где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Теперь объединим все части: F(x) = (x^2)/2 + C1 + (1/2)sin(2x) + C2

Конечный ответ: F(x) = (x^2)/2 + (1/2)sin(2x) + C, где C = C1 + C2 - объединение двух произвольных постоянных.

2. Для функции f(x) = 1 - x^2, при условии, что график проходит через точку M(-3, 9): Для найти первообразную F(x), проходящую через точку M(-3, 9), используем метод частного решения задачи Коши.

Пусть F(x) - первообразная функции f(x), тогда F'(x) = f(x). Из условия M(-3, 9) получаем уравнение:

F'(-3) = 1 - (-3)^2 = 1 - 9 = -8

Теперь проинтегрируем f(x) и найдем общую первообразную:

∫(1 - x^2) dx = x - (x^3)/3 + C

Подставим F'(-3) и координаты точки M(-3, 9) для определения постоянной C:

F(-3) = -3 - (-3)^3/3 + C = -3 + 9 + C = 6 + C

Так как F'(-3) = -8, то:

-8 = 6 + C C = -8 - 6 C = -14

Теперь можем записать окончательное выражение для первообразной:

F(x) = x - (x^3)/3 - 14