Question

Cos3α/cosα - sin3α/sinα =-2 докажите

Answer 1

$\frac{cos3a}{cosa}-\frac{sin3a}{sina}=\frac{sina\;cos3a-cosa\;sin3a}{cosa\;sina}=\\\\=\frac{-sin2a}{cosa\;sina}=\frac{-2sina\;cosa}{cosa\;sina}=-2$

Answer 2

Для доказательства данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Вначале преобразуем левую часть уравнения:

$$\frac{\cos(3\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}$$

Сначала воспользуемся тригонометрическими формулами для $\cos(3\alpha)$ и $\sin(3\alpha)$:

$$\cos(3\alpha) = \cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)\sin^2(\alpha)$$

$$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha) - \sin^3(\alpha)$$

Теперь подставим эти выражения обратно в левую часть уравнения:

$$\frac{\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha) - \sin^3(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$

Теперь упростим числитель первого слагаемого:

$$\frac{\cos^3(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{3\cos(\alpha)\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

$$= \cos^2(\alpha) - 3\sin^2(\alpha)$$

И числитель второго слагаемого:

$$\frac{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\sin^3(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$

$$= 3\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$$

Теперь наша исходная сумма становится:

$$\cos^2(\alpha) - 3\sin^2(\alpha) - (3\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))$$

$$= \cos^2(\alpha) - 3\sin^2(\alpha) - 3\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$$

$$= -2\cos^2(\alpha) - 2\sin^2(\alpha)$$

$$= -2(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))$$

$$= -2$$

Последний переход возможен из-за тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$. Таким образом, левая часть уравнения равна -2, что соответствует правой части. Уравнение верно.