Question

Упростить: 1). tgα*ctgα+1 2). (sinα+tgα)/(1+cosα) 3). (1+sin^2α)(1+ctg^2α) 4). cosα/(1+sinα) + (1+sinα)/cosα 5). sinα/(1+cosα) + sinα/(1-cosα)

Answer 1

****вроде бы**** так

Answer 2

Упрощение выражений

Давайте по очереди упростим каждое из данных выражений.

1) Выражение: tgα * ctgα + 1

Воспользуемся определениями тангенса и котангенса:

tgα = sinα/cosα ctgα = cosα/sinα

Подставим эти значения в выражение:

tgα * ctgα + 1 = (sinα/cosα) * (cosα/sinα) + 1

Заметим, что sinα и cosα сокращаются:

(sinα/cosα) * (cosα/sinα) = 1 + 1 = 2

Таким образом, упрощенное выражение равно 2.

2) Выражение: (sinα + tgα) / (1 + cosα)

Воспользуемся определениями тангенса и синуса:

tgα = sinα/cosα

Подставим это значение в выражение:

(sinα + tgα) / (1 + cosα) = (sinα + (sinα/cosα)) / (1 + cosα)

Общий знаменатель можно раскрыть:

(sinα + (sinα/cosα)) / (1 + cosα) = (sinα * cosα + sinα) / (cosα + cosα * sinα)

Заметим, что sinα сокращается:

(sinα * cosα + sinα) / (cosα + cosα * sinα) = sinα * (cosα + 1) / (cosα * (1 + sinα))

Теперь сократим cosα:

sinα * (cosα + 1) / (cosα * (1 + sinα)) = sinα * (1 + 1/cosα) / (1 + sinα)

Воспользуемся определением секанса:

1/cosα = secα

Тогда:

sinα * (1 + 1/cosα) / (1 + sinα) = sinα * (1 + secα) / (1 + sinα)

Таким образом, упрощенное выражение равно sinα * (1 + secα) / (1 + sinα).

3) Выражение: (1 + sin^2α)(1 + ctg^2α)

Воспользуемся определениями синуса и котангенса:

sin^2α = 1 - cos^2α ctgα = cosα/sinα

Подставим эти значения в выражение:

(1 + sin^2α)(1 + ctg^2α) = (1 + (1 - cos^2α))(1 + (cosα/sinα)^2)

Раскроем скобки:

(1 + (1 - cos^2α))(1 + (cosα/sinα)^2) = (2 - cos^2α)(1 + (cosα/sinα)^2)

Раскроем вторые скобки:

(2 - cos^2α)(1 + (cosα/sinα)^2) = (2 - cos^2α)(1 + (cos^2α/sin^2α))

Раскроем скобки во втором множителе:

(2 - cos^2α)(1 + (cos^2α/sin^2α)) = (2 - cos^2α)(sin^2α + cos^2α) / sin^2α

Заметим, что sin^2α + cos^2α = 1:

(2 - cos^2α)(sin^2α + cos^2α) / sin^2α = (2 - cos^2α) / sin^2α

Воспользуемся определением тангенса:

cos^2α = 1 - sin^2α

Тогда:

(2 - cos^2α) / sin^2α = (2 - (1 - sin^2α)) / sin^2α = (2 - 1 + sin^2α) / sin^2α = (1 + sin^2α) / sin^2α

Таким образом, упрощенное выражение равно (1 + sin^2α) / sin^2α.

4) Выражение: cosα / (1 + sinα) + (1 + sinα) / cosα

Воспользуемся общим знаменателем cosα:

cosα / (1 + sinα) + (1 + sinα) / cosα = (cosα * cosα) / (cosα * (1 + sinα)) + (1 + sinα) / cosα

Раскроем скобки:

(cosα * cosα) / (cosα * (1 + sinα)) + (1 + sinα) / cosα = cos^2α / (cosα + cosα * sinα) + (1 + sinα) / cosα

Заметим, что cosα сокращается:

cos^2α / (cosα + cosα * sinα) + (1 + sinα) / cosα = cosα / (1 + sinα) + (1 + sinα) / cosα

Таким образом, упрощенное выражение равно cosα / (1 + sinα) + (1 + sinα) / cosα.

5) Выражение: sinα / (1 + cosα) + sinα / (1 - cosα)

Воспользуемся общим знаменателем (1 + cosα)(1 - cosα):

sinα / (1 + cosα) + sinα / (1 - cosα) = (sinα * (1 - cosα) + sinα * (1 + cosα)) / ((1 + cosα)(1 - cosα))

Раскроем скобки:

(sinα * (1 - cosα) + sinα * (1 + cosα)) / ((1 + cosα)(1 - cosα)) = (sinα - sinα * cosα + sinα + sinα * cosα) / ((1 + cosα)(1 - cosα))

Сократим подобные члены:

(sinα - sinα * cosα + sinα + sinα * cosα) / ((1 + cosα)(1 - cosα)) = (2sinα) / ((1 + cosα)(1 - cosα))

Раскроем знаменатель:

(2sinα) / ((1 + cosα)(1 - cosα)) = (2sinα) / (1 - cos^2α)

Воспользуемся определением синуса:

cos^2α = 1 - sin^2α

Тогда:

(2sinα) / (1 - cos^2α) = (2sinα) / (1 - (1 - sin^2α)) = (2sinα) / sin^2α = 2 / sinα

Таким образом, упрощенное выражение равно 2 / sinα.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.