Question

2(x^2+1/x^2)+19=11(x+1/x) Как это решить? Я думаю что нужно методом постановки решать, но не понимаю как правильно заменить (x^2+1/x^2) и (x+1/x)

Answer 1

Ответ:

(3-sqrt(5))/2, 1/2, 2, (3+sqrt(5))/2

Объяснение:

пусть t=x+1/x, тогда x^2+1/x^2=x^2+2+1/x^2-2=(x+1/x)^2-2=t^2-2

Заменим, получается уравнение 2(t^2-2)+19=11t

2t^2-11t+15=0 Решаем уравнение, D=11^2-15*4*2=121-120=1 Тогда корни:

t1=(11+1)/4=3 t2= (11-1)/4=2,5

Теперь получается два уравнения:

x+1/x=3 и x+1/x=2,5

Первое уравнение:

x^2-3x+1=0 D=9-4=5 Значит корни (3+sqrt(5))/2 и (3-sqrt(5))/2

Второе уравнение

2x^2-5x+2=0 D=25-16=9 Значит корни (5+3)/4=2 и (5-3)/4=1/2

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, вы можете воспользоваться методом подстановки. Для этого давайте обозначим:

$y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда уравнение $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 19 = 11(x + \frac{1}{x})$ можно переписать в виде:

$2y^2 + 19 = 11y$.

Теперь это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его:

1. Перенесем все члены на одну сторону:

$2y^2 - 11y + 19 = 0$.

2. Теперь можно воспользоваться квадратным уравнением:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

где $a = 2$, $b = -11$, и $c = 19$.

3. Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(2)(19) = 121 - 152 = -31$.

4. Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение имеет два комплексных корня. Решение будет выглядеть следующим образом:

$y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{-31}}{2(2)} = \frac{11 \pm i\sqrt{31}}{4}$.

Теперь у нас есть два значения $y$. Чтобы получить значения для $x\, и \frac{1}{x}$, мы можем использовать исходную подстановку:

1. $x + \frac{1}{x} = \frac{11 + i\sqrt{31}}{4}$.

2. $x + \frac{1}{x} = \frac{11 - i\sqrt{31}}{4}$.

Это даст вам два комплексных набора решений для $x$ и $\frac{1}{x}$.