Question

Найдите все знаения числа a, при которых производная функции y=x^3+5x^2+ax-2 принимает положительные значения для всех действительных x

Answer 1

Ответ: $a>\frac{25}{3}$

Объяснение:

$y = x^{3} +5x^{2} +ax-2\\y' = 3x^{2} +10x+a$

Чтобы функция производной была всегда положительной, нужно чтобы дискриминант был отрицательным.

$D = 10^{2} - 4\times3 \times a = 100-12a$

$100-12a < 0\\-12a < -100\\a>\frac{25}{3}$

Answer 2

Чтобы найти все значения числа "a", при которых производная функции y = x^3 + 5x^2 + ax - 2 принимает положительные значения для всех действительных x, нужно проанализировать знак производной данной функции.

Сначала найдем производную этой функции по переменной x:

y'(x) = d/dx (x^3 + 5x^2 + ax - 2)

y'(x) = 3x^2 + 10x + a

Теперь рассмотрим знак этой производной в зависимости от значения "a" и "x".

1. Если "a" положительно, то производная y'(x) будет иметь положительный член "ax", что означает, что производная всегда будет положительной для всех действительных x. Таким образом, при "a" > 0 производная всегда положительна.

2. Если "a" равно нулю, то производная упростится до y'(x) = 3x^2 + 10x, и для определенных значений x она может быть отрицательной (например, при x < -10/3), поэтому "a" не может быть равно нулю.

3. Если "a" отрицательно, то производная y'(x) будет иметь отрицательный член "ax", что означает, что производная всегда будет отрицательной для всех действительных x. Таким образом, при "a" < 0 производная всегда отрицательна.

Итак, чтобы производная функции была положительной для всех действительных x, необходимо, чтобы "a" было строго больше нуля: a > 0.