Question

Разложите на множители: x^3-8x^2+19x-12) разложите на множители: x(x+z-y)+y*(y-x-z)+(x-y+z) Найдите наименьшее значение выражения: (2a-1)*(2a+1)+3b*(3b-4a)

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ x^3-8x^2+19x-12=(x-1)(x^2-7x+12)=(x-1)(x-3)(x-4)\\\\\\2)\ \ x(x+z-y)+y(y-x-z)+(x-y+z)=\\\\=x(x+z-y)-y(x+z-y)+(x+z-y)=(x+z-y)(x-y+1)$

$3)\ \ (2a-1)(2a+1)+3b(3b-4a)=4a^2-1+9b^2-12ab=\\\\=(4a^2-12ab+9b^2)-1=\underbrace{(2a-3b)^2}_{\geq 0}-1\geq -1\\\\\\naimenshee\ \ znachenie\ \ = -1$

Answer 2

1. Разложение на множители для x^3 - 8x^2 + 19x - 12:

Сначала попробуем найти рациональные корни этого полинома с помощью рациональной теоремы и синтетического деления:

Подозреваемый рациональный корень = p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 12), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Подходящие пары (p, q) для 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1).

Попробуем каждую пару в синтетическом делении:

1. При p = 1 и q = 12: Полином не делится на (x + 1/12), так как остаётся остаток.

2. При p = 2 и q = 6: Полином делится на (x + 1/6) без остатка.

Таким образом, (x + 1/6) - это один из множителей. Мы можем использовать синтетическое деление для получения квадратного уравнения, которое можно разложить на множители.

Разделим исходный полином на (x + 1/6):

(x^3 - 8x^2 + 19x - 12) / (x + 1/6)

Результат синтетического деления:

x^2 - 7x + 18

Теперь разложим квадратное уравнение на множители:

x^2 - 7x + 18 = (x - 6)(x - 3)

Итак, разложение исходного полинома на множители:

x^3 - 8x^2 + 19x - 12 = (x + 1/6)(x - 6)(x - 3)

2. Разложение на множители для x(x + z - y) + y(y - x - z) + (x - y + z):

Разложим каждое слагаемое отдельно:

a) x(x + z - y) = x(x - y + z)

b) y(y - x - z) = -y(x - y + z)

c) (x - y + z)

Теперь объединим все слагаемые:

x(x - y + z) - y(x - y + z) + (x - y + z)

Заметим, что у нас есть общий множитель (x - y + z):

(x - y + z)(x - y - 1)

Итак, разложение данного выражения на множители:

x(x + z - y) + y(y - x - z) + (x - y + z) = (x - y + z)(x - y - 1)

3. Найдем наименьшее значение выражения (2a - 1)(2a + 1) + 3b(3b - 4a):

Раскроем скобки и упростим:

(2a - 1)(2a + 1) + 3b(3b - 4a) = 4a^2 - 1 + 9b^2 - 12ab

Для нахождения наименьшего значения данного выражения, нужно минимизировать его как функцию переменных a и b. Для этого найдем производные по a и b и приравняем их к нулю:

По a: ∂/∂a (4a^2 - 1 + 9b^2 - 12ab) = 8a - 12b = 0

По b: ∂/∂b (4a^2 - 1 + 9b^2 - 12ab) = 18b - 12a = 0

Решим эту систему уравнений:

8a - 12b = 0 18b - 12a = 0

Первое уравнение можно переписать как:

4a = 6b a = (3/2)b

Подставим это во второе уравнение:

18b - 12((3/2)b) = 0 18b - 18b = 0

Уравнение не имеет нетривиальных решений, так как оно приводит к 0 = 0.

Следовательно, наименьшее значение этого выражения равно -1 (при a = 0 и b = 0).