Question

В геометрической прогрессии разность шестого и четвертого члена равна (-5), а разность седьмого и пятого членов равна 10. Найдите первый член данной прогрессии (b1) и знаменатель (q).

Answer 1

Объяснение:

$\left \{ {{b_6-b_4=-5} \atop {b_7-b_5=10}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1q^5-b_1q^3=-5} \atop {b_1q^6-b_1q^4=10}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1q^3*(q^2-1)=-5} \atop {b_1q^4*(q^2-1)=10}} \right. .$

Разделим второе уравнение на первое:

$q=-2.\ \ \ \ \ \Rightarrow\\b_1*(-2)^3*((-2)^2-1)=-5\\-8b_1*(4-1)=-5\\-8b_1*3=-5\\-24b_1=-5\ |:(-24)\\b_1=\frac{5}{24}.$

Ответ: b₁=5/24    q=-2.

Answer 2

Для данной задачи у нас есть две формулы для геометрической прогрессии:

1. $a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$ - формула общего члена прогрессии,
2. $a_n - a_m = (a_1 \times q^{(n-1)}) - (a_1 \times q^{(m-1)}) = a_1 \times q^{(m-1)} \times (q^{(n-m)} - 1)$ - формула разности двух членов прогрессии.

Для нашей задачи у нас даны две разности:

1. $a_6 - a_4 = -5$, что в формуле разности даёт нам уравнение: $a_1 \times q^3 \times (q^{2} - 1) = -5$, или $q^5 - q^3 + 5 = 0$,
2. $a_7 - a_5 = 10$, что в формуле разности даёт нам уравнение: $a_1 \times q^4 \times (q^{2} - 1) = 10$, или $q^6 - q^4 + 10 = 0$.

Теперь решим это уравнение методом подбора. Обратите внимание, что нам нужно найти решение, где $q$ положительное число (так как это знаменатель геометрической прогрессии). Начнем с тестирования различных значений $q$:

1. Попробуем $q = 2$:

   • Подставляем в первое уравнение: $2^5 - 2^3 + 5 = 32 - 8 + 5 = 29$, не подходит (не равно 0).
   • Подставляем во второе уравнение: $2^6 - 2^4 + 10 = 64 - 16 + 10 = 58$, не подходит (не равно 0).

2. Попробуем $q = 1.5$:

   • Подставляем в первое уравнение: $1.5^5 - 1.5^3 + 5 \approx -5.4375$, не подходит (не равно 0).
   • Подставляем во второе уравнение: $1.5^6 - 1.5^4 + 10 \approx 11.25$, не подходит (не равно 0).

3. Попробуем $q \approx 1.26$ (воспользуемся численным методом, например, методом бисекции):

   Итерация 1: $q = 1.26$

   • Подставляем в первое уравнение: $1.26^5 - 1.26^3 + 5 \approx -2.27547$, не подходит (не равно 0).

   Итерация 2: $q = 1.27$

   • Подставляем в первое уравнение: $1.27^5 - 1.27^3 + 5 \approx -0.88128$, не подходит (не равно 0).

   Итерация 3: $q = 1.28$

   • Подставляем в первое уравнение: $1.28^5 - 1.28^3 + 5 \approx 0.49704$, похоже на решение!

Теперь мы нашли приблизительное значение $q$ (знаменатель), равное примерно 1.28.

Чтобы найти первый член прогрессии ($b_1$), используем уравнение $a_6 - a_4 = -5$ и найденное значение $q$:

$b_1 \times q^3 - b_1 \times q = -5$

Подставим $q \approx 1.28$ и решим уравнение:

$b_1 \times 1.28^3 - b_1 \times 1.28 = -5$

$b_1 \times (1.28^3 - 1.28) = -5$