Question

Докажите, что 1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 2)сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4 3 )сумма четырех последовательных и нечётных чисел делится на 8 4 )сумма четырёх последовательных четных натуральных чисел делится на 4​

Answer 1

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число.

1.

Пусть  $x;$    $x+1,$   $x+2;$   $x+3;$   $x+4$  -  пять последовательных натуральных чисел, тогда их сумма равна:

$x+x+1+x+2+x+3+x+4=5x+10$

Очевидно, что каждое слагаемое $5x$  и  $10$  делится на 5, а это означает, что вся сумма делится на 5.

Доказано.

2.

Пусть  $x;$  $x+1,$   $x+2;$   $x+3$  -  четыре последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна:

$x+x+1+x+2+x+3=4x+6$

Очевидно, что первое слагаемое $4x$  делится на 4, а второе слагаемое $6$ не делится на 4, это означает, что вся сумма не делится на 4.

Доказано.

3.

Пусть  $2x+1;$    $2x+3,$   $2x+5;$   $2x+7$   -  четыре последовательных нечётных натуральных числа, тогда их сумма равна:

$2x+1+2x+3+2x+5+2x+7=8x+16$

Очевидно, что каждое слагаемое $8x$  и  $16$  делится на 8, а это означает, что вся сумма делится на 8.

Доказано.

4.

Пусть  $2x;$    $2x+2$;   $2x+4;$   $2x+6$   -  четыре последовательных чётных натуральных числа, тогда их сумма равна:

$2x+2x+2+2x+4+2x+6=8x+12$

Очевидно, что каждое слагаемое $8x$  и  $12$  делится на 4, а это означает, что вся сумма делится на 4.

Доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди и докажем их:

1. Сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5:

Пусть первое из этих чисел равно n. Тогда последующие четыре числа будут n + 1, n + 2, n + 3 и n + 4. Сумма этих чисел равна:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + (1 + 2 + 3 + 4) = 5n + 10.

Мы видим, что сумма чисел содержит множитель 5 (5n), и оставшаяся часть (10) также делится на 5 без остатка. Следовательно, сумма пяти последовательных натуральных чисел действительно делится на 5.

2. Сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4:

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим сумму четырех последовательных натуральных чисел, начиная с n:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + (1 + 2 + 3) = 4n + 6.

Следовательно, сумма этих чисел равна 4n + 6. Эта сумма не делится на 4, так как она содержит член 6, который не делится на 4 без остатка.

3. Сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8:

Пусть первое из этих чисел равно 2n + 1, где n - натуральное число. Тогда последующие три нечетных числа будут 2n + 3, 2n + 5 и 2n + 7. Сумма этих чисел равна:

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 8n + (1 + 3 + 5 + 7) = 8n + 16.

Мы видим, что сумма чисел содержит множитель 8 (8n), и оставшаяся часть (16) также делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма четырех последовательных нечетных чисел действительно делится на 8.

4. Сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится на 4:

Пусть первое из этих чисел равно 2n, где n - натуральное число. Тогда последующие три четных числа будут 2n + 2, 2n + 4 и 2n + 6. Сумма этих чисел равна:

(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 8n + (0 + 2 + 4 + 6) = 8n + 12.

Мы видим, что сумма чисел содержит множитель 4 (4n), и оставшаяся часть (12) также делится на 4 без остатка. Следовательно, сумма четырех последовательных четных натуральных чисел действительно делится на 4.

Таким образом, мы доказали все четыре утверждения.