Question

Найдите разность многочлена столбиков 1) 3а в квадрате+8а-4а и 3+8а-5а в квадрате2) b в кубе-3b в квадрате+4b и b+2b в квадрате+b в кубедокажите что:1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5:2) сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4:3) сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8:4) сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится на 4.

Answer 1

Смотри решение во вложении

Answer 2

Давайте начнем с вычисления разностей многочленов.

1) Разность многочлена (3а в квадрате + 8а - 4а) и (3 + 8а - 5а в квадрате):

Для начала, раскроем скобки и объединим подобные члены:

(3а в квадрате + 8а - 4а) - (3 + 8а - 5а в квадрате) = = 3а^2 + 8а - 4а - 3 - 8а + 5а^2 = = (3а^2 + 5а^2) + (8а - 4а - 8а) - 3 = = 8а^2 - 4а - 3.

Таким образом, разность многочленов (3а в квадрате + 8а - 4а) и (3 + 8а - 5а в квадрате) равна 8а^2 - 4а - 3.

2) Разность многочлена (b в кубе - 3b в квадрате + 4b) и (b + 2b в квадрате + b в кубе):

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

(b в кубе - 3b в квадрате + 4b) - (b + 2b в квадрате + b в кубе) = = b^3 - 3b^2 + 4b - b - 2b^2 - b^3 = = -3b^2 - b^3 + 4b - b - 2b^2 = = -4b^2 - b^3 + 3b.

Таким образом, разность многочленов (b в кубе - 3b в квадрате + 4b) и (b + 2b в квадрате + b в кубе) равна -4b^2 - b^3 + 3b.

Теперь рассмотрим доказательства утверждений:

1) Сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5:

Пусть первое число в последовательности равно n. Тогда пять последовательных чисел будут: n, n+1, n+2, n+3, n+4.

Сумма этих чисел равна n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n+2).

Мы видим, что сумма является произведением числа 5 и некоторого целого числа (n+2), поэтому сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2) Сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4:

Пусть первое число в последовательности равно n. Тогда четыре последовательных числа будут: n, n+1, n+2, n+3.

Сумма этих чисел равна n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6.

Мы видим, что сумма является произведением числа 4 и некоторого целого числа (n+1.5), поэтому сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4.

3) Сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8:

Пусть первое число в последовательности равно 2n+1. Тогда четыре последовательных нечетных числа будут: 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7.

Сумма этих чисел равна (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7) = 8n + 16 = 8(n+2).

Мы видим, что сумма является произведением числа 8 и некоторого целого числа (n+2), поэтому сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8.

4) Сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится на 4:

Пусть первое число в последовательности равно 2n. Тогда четыре последовательных четных числа будут: 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6.

Сумма этих чисел равна (2n) + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) = 8n + 12 = 4(2n + 3).

Мы видим, что сумма является произведением числа 4 и некоторого целого числа (2n+3), поэтому сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится на 4.

Таким образом, мы доказали все утверждения.