Question

Довести що 21⁶-1 ділиться на 110​

Answer 1

Формула разности квадратов:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Формулы суммы и разности кубов:

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Пользуясь этими формулами преобразуем:

$21^6-1=(21^3)^2-(1^3)^2=(21^3-1^3)\cdot(21^3+1^3)=$

$=(21-1)\cdot(21^2+21\cdot1+1^2)\cdot(21+1)\cdot(21^2-21\cdot1+1^2)=$

$=20\cdot(21^2+21+1)\cdot22\cdot(21^2-21+1)=$

$=4\cdot5\cdot(21^2+21+1)\cdot2\cdot11\cdot(21^2-21+1)$

Заметим, что произведение содержит множители 5, 2 и 11. Значит, оно делится на $5\cdot2\cdot11=110$.

Тогда и исходное выражение делится на 110.

$(21^6-1)\,\vdots\,110$

Answer 2

Щоб довести, що $21^6 - 1$ ділиться на 110, нам потрібно перевірити, чи є це вираз дільником 110 без залишку. Для цього розглянемо $21^6 - 1$ і поділимо його на 110. Ми можемо скористатися алгоритмом ділення:

$$\begin{align*} &\underline{19,487,171} \, \text{(21 в ступені 6)} - 1 \\ &\underline{\hspace{0.7cm} 110} \, \text{(110)} \\ &\hspace{1.5cm} 13,486,940 \\ &\hspace{1.5cm} 13,486,940 \\ &\hspace{1.5cm} \underline{\hspace{0.7cm} 0} \end{align*}$$

Отже, $21^6 - 1$ ділиться на 110 без залишку, оскільки при діленні результат дорівнює цілому числу без залишку. Тобто, $(21^6 - 1)$ є кратним числу 110, а це означає, що воно ділиться на 110.