Question

Доведіть що многочлен х3-х2-7х+3 ділиться націло на многочлен х2+2х-1

Answer 1

Объяснение:

$x^3-x^2-7x+3=x^3+(2x^2-2x^2)-x^2+(x-x)-7x+3=$

$x^3+2x^2-2x^2-x^2+x-x-7x+3=$

$x^3+2x^2-3x^2-x-6x+3=(x^3+2x^2-x)-(3x^2+6x-3)=$

$x(x^2+2x-1)-3(x^2+2x-1)=(x-3)(x^2+2x-1)$

а значить $x^3-x^2-7x+3$ ділиться націло на $x^2+2x-1$,

так як розклаться на множники одним з яких є $x^2+2x-1$

Доведно

Answer 2

Для того чтобы довести, что многочлен x^3 - x^2 - 7x + 3 ділиться націло на многочлен x^2 + 2x - 1, нам потрібно показати, що при діленні цих двох многочленів залишок буде дорівнювати нулю.

Давайте виконаємо ділення многочленів:

markdownCopy code
       x
---------------
x^2 + 2x - 1 | x^3 - x^2 - 7x + 3

Спочатку поділимо найвищі степені многочленів (x^3 / x^2 = x):

markdownCopy code
       x
---------------
x^2 + 2x - 1 | x^3 - x^2 - 7x + 3
      - (x^3 - x^2)
       ----------
              x^2 - 7x + 3

Тепер поділимо x^2 на x^2 (x^2 / x^2 = 1):

markdownCopy code
       x + 1
---------------
x^2 + 2x - 1 | x^3 - x^2 - 7x + 3
      - (x^3 - x^2)
       ----------
              x^2 - 7x + 3
              - (x^2 - x^2)
              ------------
                     - 7x + 3

Далі поділимо -7x на x^2 (-7x / x^2 = -7/x):

markdownCopy code
       x + 1 - 7/x
---------------
x^2 + 2x - 1 | x^3 - x^2 - 7x + 3
      - (x^3 - x^2)
       ----------
              x^2 - 7x + 3
              - (x^2 - x^2)
              ------------
                     - 7x + 3
                     - (-7x + 7/x)
                     -------------
                            0

Отже, ми побачили, що залишок після ділення дорівнює нулю. Це означає, що многочлен x^3 - x^2 - 7x + 3 ділиться націло на многочлен x^2 + 2x - 1.