Question

Доведіть, що значення виразу 1) 35^7 × 15^7- 21^5 × 31^5 ділиться націло на 2；2)22^5×13^5-36^3 ділиться націло на 10

Answer 1

Любые числа оканчивающиеся на цифру 5, 1 и 6 возведенные в степени n оканчиваются на ту же цифру 5, 1, 6 соответственно, где n - натуральное число.

1) 35^7 × 15^7- 21^5 × 31^5 =  

525^7 - 651^5, см. выше на определение т.к. заканчиваются на цифры 5 и 1 и возводятся в степень n, то получаются числа заканчивающиеся на чифру 5 и 1 соответственно.

x..y5 - a..b1 = c..d4 - любое число с четный цифрой в конце делится на 2 без остатка.

2) 22^5×13^5-36^3 =

286^5-36^3,  см. выше на определение т.к. заканчиваются на цифру 6 и возводятся в степень n, то получится число заканчивающиеся на цифру 6.

x..y6 - a..b6 = c..d0, любое число оканчивающиеся на цифру 0 делится на 10 без остатка

Answer 2

Для доведення обох тверджень скористаємося основними властивостями арифметики та кількома твердженнями, які ми можемо використовувати без доведення:

1. Властивість 1: Якщо число ділиться на 2, то його остання цифра є парною (0, 2, 4, 6, 8).

2. Властивість 2: Добуток двох парних чисел ділиться на 2.

3. Властивість 3: Добуток двох непарних чисел ділиться на 2.

4. Властивість 4: Добуток парного числа та непарного числа ділиться на 2.

Тепер перейдемо до розв'язання:

1. Перше твердження: 35^7 × 15^7 - 21^5 × 31^5 ділиться націло на 2.

Спочатку дослідимо парність окремих доданків:

35^7 - парне число, тому 35^7 × 15^7 - парне число. 21^5 - непарне число, тому 21^5 × 31^5 - парне число.

Тепер ми маємо різницю двох парних чисел:

Парне число - Парне число = Парне число.

Отже, значення виразу 35^7 × 15^7 - 21^5 × 31^5 також є парним. Із Властивості 1 випливає, що воно ділиться на 2.

2. Друге твердження: 22^5 × 13^5 - 36^3 ділиться націло на 10.

Спочатку розглянемо доданки окремо:

22^5 - парне число, тому 22^5 × 13^5 - парне число. 36^3 - парне число, тому 36^3 - парне число.

Тепер ми маємо різницю двох парних чисел:

Парне число - Парне число = Парне число.

Отже, значення виразу 22^5 × 13^5 - 36^3 також є парним. З Властивості 1 випливає, що воно ділиться на 2.

Тепер розділімо цей вираз на 5:

(22^5 × 13^5 - 36^3) / 5 = (Парне число) / 5.

Знову з Властивості 2 випливає, що результат є парним числом, а потім також ділиться на 2.

Але парні числа, які діляться на 2, також діляться на 10. Тому вираз 22^5 × 13^5 - 36^3 ділиться націло на 10.

Таким чином, ми довели обидва твердження.