Question

Доведіть, що значення виразу 1) 35^7 × 15^7- 21^5 × 31^5 ділиться націло на 2；2)22^5×13^5-36^3 ділиться націло на 10.

Answer 1

Любые числа оканчивающиеся на цифру 5, 1 и 6 возведенные в степени n оканчиваются на ту же цифру 5, 1, 6 соответственно, где n - натуральное число.

1) 35^7 × 15^7- 21^5 × 31^5 =  

525^7 - 651^5, см. выше на определение т.к. заканчиваются на цифры 5 и 1 и возводятся в степень n, то получаются числа заканчивающиеся на чифру 5 и 1 соответственно.

x..y5 - a..b1 = c..d4 - любое число с четный цифрой в конце делится на 2 без остатка.

2) 22^5×13^5-36^3 =

286^5-36^3,  см. выше на определение т.к. заканчиваются на цифру 6 и возводятся в степень n, то получится число заканчивающиеся на цифру 6.

x..y6 - a..b6 = c..d0, любое число оканчивающиеся на цифру 0 делится на 10 без остатка

Answer 2

Для доведення обох тверджень використаємо алгебру і властивості ділення.

1. Доведення того, що вираз $35^7 \times 15^7 - 21^5 \times 31^5$ ділиться націло на 2:

Зауважимо, що будь-яке натуральне число $n$, якщо воно парне, може бути представлено у вигляді $n = 2k$, де $k$ - ціле число. Це стосується і всіх степенів чисел.

Подивимося на перший доданок $35^7 \times 15^7$:

$35^7 \times 15^7 = (5 \times 7)^7 \times (3 \times 5)^7 = 5^7 \times 7^7 \times 3^7 \times 5^7$

Тепер звернемо увагу на другий доданок $21^5 \times 31^5$:

$21^5 \times 31^5 = (3 \times 7)^5 \times (1 \times 31)^5 = 3^5 \times 7^5 \times 31^5$

Тепер врахуємо нашу зустрічність $a \times b - c \times d = a \times b + (-c \times d)$:

$35^7 \times 15^7 - 21^5 \times 31^5 = 5^7 \times 7^7 \times 3^7 \times 5^7 - 3^5 \times 7^5 \times 31^5$

Тепер витягнемо $5^5 \times 7^5$ з кожного доданка:

$= 5^5 \times 7^5 \times (5^2 \times 7^2 \times 3^7 - 3^5 \times 31^5)$

Ми можемо побачити, що $5^5 \times 7^5$ - це парне число, оскільки кожен множник $5$ та $7$ - парні числа.

Тепер ми залишимося з $5^2 \times 7^2 \times 3^7 - 3^5 \times 31^5$ і доведемо, що воно також парне.

$= 5^2 \times 7^2 \times 3^5 \times (5^2 \times 7^2 \times 3^2 - 31^5)$

У цьому виразі множник $5^2 \times 7^2 \times 3^5$ - також парне число.

Залишаємо $5^2 \times 7^2 \times 3^2 - 31^5$ і доведемо, що воно парне.

$= 5^2 \times 7^2 \times 9 - 31^5$

Множники $5^2 \times 7^2 \times 9$ - це парне число (перевіряємо кожний множник окремо).

Таким чином, ми довели, що $35^7 \times 15^7 - 21^5 \times 31^5$ представляється у вигляді $2k$, де $k$ - ціле число, тобто ділиться на 2 націло.

2. Доведення того, що вираз $22^5 \times 13^5 - 36^3$