Question

Решите систему неравенств {x2-x+6>0 {(x-4)(x+4)<0 Смотреть ответ sangers1959 sangers1959 Объяснение: Ответ: x∈(-4;4).

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. x^2 - x + 6 > 0

Для начала найдем корни этого квадратного уравнения, то есть значения x, при которых x^2 - x + 6 = 0. Мы можем воспользоваться квадратным дискриминантом, чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные корни:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * 6 = 1 - 24 = -23

Дискриминант D отрицателен, что означает, что уравнение x^2 - x + 6 = 0 не имеет действительных корней. То есть уравнение x^2 - x + 6 = 0 не пересекает ось x.

Теперь рассмотрим знак выражения x^2 - x + 6 для различных интервалов:

a) Если x < -4, то x^2 - x + 6 > 0, так как все члены положительны (x^2 положительно для всех x, -x отрицателен, но он добавляется к положительному x^2, и 6 положительно).

b) Если -4 < x < 4, то x^2 - x + 6 > 0, так как x^2 положительно для всех x, -x отрицателен, но он добавляется к положительному x^2, и 6 положительно.

c) Если x > 4, то x^2 - x + 6 > 0, так как все члены положительны (x^2 положительно для всех x, -x отрицателен, но он добавляется к положительному x^2, и 6 положительно).

Таким образом, неравенство x^2 - x + 6 > 0 выполняется для всех значений x, кроме интервала (-4, 4).

2. (x - 4)(x + 4) < 0

Здесь мы видим произведение двух множителей. Для определения знака этого выражения нужно рассмотреть знаки каждого множителя:

a) Если x < -4, то оба множителя (x - 4) и (x + 4) отрицательны, так как x - 4 < -4 - 4 = -8 и x + 4 < -4 + 4 = 0.

b) Если -4 < x < 4, то (x - 4) отрицательный (так как x - 4 < 0), а (x + 4) положительный (так как x + 4 > 0).

c) Если x > 4, то оба множителя (x - 4) и (x + 4) положительны, так как x - 4 > 0 и x + 4 > 0.

Теперь объединим оба неравенства:

1. x^2 - x + 6 > 0
2. (x - 4)(x + 4) < 0

Теперь посмотрим на пересечение интервалов, которые удовлетворяют обоим неравенствам:

Из первого неравенства мы знаем, что x должно быть в интервале (-∞, -4) объединенном с (4, ∞).

Из второго неравенства мы знаем, что x должно быть в интервале (-4, 4).

Теперь найдем пересечение этих интервалов: (-∞, -4) объединенное с (4, ∞) пересекается с (-4, 4), что дает нам интервал (-4, 4).

Таким образом, решение системы неравенств {x^2 - x + 6 > 0, (x - 4)(x + 4) < 0} состоит из всех значений x в интервале (-4, 4).